Važan koncept u trigonometriji je ugao rotacije. U nastavku ćemo dosljedno dati ideju o skretanju i predstaviti sve povezane koncepte. Počnimo s općom idejom zaokreta, recimo pune rotacije. Zatim, prijeđimo na koncept kuta rotacije i razmotrimo njegove glavne karakteristike, kao što su smjer i veličina rotacije. Konačno, dajemo definiciju rotacije figure oko tačke. Cijelu teoriju pružit ćemo u tekstu uz primjere objašnjenja i grafičke ilustracije.

Navigacija po stranici.

Šta se naziva rotacija tačke oko tačke?

Odmah napominjemo da ćemo, uz izraz „rotacija oko tačke“, koristiti i izraze „rotacija oko tačke“ i „rotacija oko tačke“, koji znače istu stvar.

Hajde da se predstavimo koncept okretanja tačke oko tačke.

Prvo, definirajmo centar rotacije.

Definicija.

Tačka oko koje se vrši rotacija se zove centar rotacije.

Recimo sada šta se dešava kao rezultat rotacije tačke.

Kao rezultat rotacije određene tačke A u odnosu na centar rotacije O, dobija se tačka A 1 (koja se, u slučaju određenog broja, može poklapati sa A), a tačka A 1 leži na kružnici sa centar u tački O poluprečnika OA. Drugim rečima, kada se rotira u odnosu na tačku O, tačka A ide u tačku A 1 koja leži na kružnici sa centrom u tački O poluprečnika OA.

Vjeruje se da se tačka O, kada se okreće oko sebe, pretvara u sebe. To jest, kao rezultat rotacije oko centra rotacije O, tačka O se pretvara u sebe.

Također je vrijedno napomenuti da rotaciju tačke A oko tačke O treba smatrati pomakom kao rezultatom kretanja tačke A u krugu sa centrom u tački O poluprečnika OA.

Radi jasnoće daćemo ilustraciju rotacije tačke A oko tačke O; na slikama ispod prikazaćemo kretanje tačke A do tačke A1 pomoću strelice.

Pun okret

Moguće je rotirati tačku A u odnosu na centar rotacije O, tako da će tačka A, prošavši sve tačke kruga, biti na istom mestu. U ovom slučaju kažu da se tačka A pomerila oko tačke O.

Damo grafičku ilustraciju potpune revolucije.

Ako se ne zaustavite na jednoj revoluciji, već nastavite pomicati tačku po krugu, tada možete izvesti dva, tri i tako redom puna okretanja. Crtež ispod pokazuje kako se mogu napraviti dva puna okreta na desnoj strani i tri na lijevoj strani.

Koncept ugla rotacije

Iz koncepta rotacije tačke predstavljenog u prvom paragrafu, jasno je da postoji beskonačan broj opcija za rotaciju tačke A oko tačke O. Zaista, svaka tačka na kružnici sa centrom u tački O poluprečnika OA može se smatrati tačkom A 1 dobijenom kao rezultat rotacije tačke A. Stoga, da bismo razlikovali jedan okret od drugog, uvodimo koncept ugla rotacije.

Jedna od karakteristika ugla rotacije je smjer rotacije. Smjer rotacije određuje da li se točka rotira u smjeru kazaljke na satu ili suprotno.

Još jedna karakteristika ugla rotacije je njegova magnitude. Uglovi rotacije se mjere u istim jedinicama kao što su: stepeni i radijani su najčešći. Ovdje je vrijedno napomenuti da se ugao rotacije može izraziti u stupnjevima bilo kojim realnim brojem od minus beskonačnosti do plus beskonačnosti, za razliku od ugla u geometriji, čija je vrijednost u stupnjevima pozitivna i ne prelazi 180.

Mala slova grčkog alfabeta obično se koriste za označavanje uglova rotacije: itd. Za označavanje velikog broja uglova rotacije često se koristi jedno slovo sa indeksima, na primer, .

Razgovarajmo sada o karakteristikama kuta rotacije detaljnije i po redu.

Smjer okretanja

Neka su tačke A i A 1 označene na kružnici sa centrom u tački O. Možete doći do tačke A 1 iz tačke A okretanjem oko centra O u smjeru kazaljke na satu ili suprotno. Logično je ove okrete smatrati različitim.

Ilustrirajmo rotacije u pozitivnom i negativnom smjeru. Crtež ispod prikazuje rotaciju u pozitivnom smjeru lijevo, a u negativnom smjeru desno.

Vrijednost ugla rotacije, ugao proizvoljne vrijednosti

Ugao rotacije tačke koja nije centar rotacije u potpunosti je određen označavanjem njene veličine; s druge strane, po veličini ugla rotacije može se suditi kako je ova rotacija izvršena.

Kao što smo već spomenuli, ugao rotacije u stepenima izražava se kao broj od −∞ do +∞. U ovom slučaju, znak plus odgovara rotaciji u smjeru kazaljke na satu, a znak minus odgovara rotaciji u smjeru suprotnom od kazaljke na satu.

Sada ostaje uspostaviti korespondenciju između vrijednosti kuta rotacije i rotacije kojoj ona odgovara.

Počnimo sa uglom rotacije od nula stepeni. Ovaj ugao rotacije odgovara kretanju tačke A prema sebi. Drugim rečima, kada se rotira za 0 stepeni oko tačke O, tačka A ostaje na mestu.

Nastavljamo sa rotacijom tačke A oko tačke O, u kojoj se rotacija dešava unutar pola obrtaja. Pretpostavićemo da tačka A ide u tačku A1. U ovom slučaju, apsolutna vrijednost ugla AOA 1 u stepenima ne prelazi 180. Ako se rotacija dogodila u pozitivnom smjeru, tada se vrijednost kuta rotacije smatra jednakom vrijednosti ugla AOA 1, a ako se rotacija dogodila u negativnom smjeru, tada se njegova vrijednost smatra jednakom vrijednosti ugla AOA 1 sa znakom minus. Kao primjer, evo slike koja prikazuje uglove rotacije od 30, 180 i −150 stepeni.

Uglovi rotacije veći od 180 stepeni i manji od -180 stepeni određuju se na osnovu sledećeg prilično očiglednog svojstva uzastopnih okreta: nekoliko uzastopnih rotacija tačke A oko centra O je ekvivalentno jednoj rotaciji, čija je veličina jednaka zbiru veličina ovih rotacija.

Navedimo primjer koji ilustruje ovo svojstvo. Rotiramo tačku A u odnosu na tačku O za 45 stepeni, a zatim ovu tačku za 60 stepeni, nakon čega rotiramo ovu tačku za -35 stepeni. Označimo međutačke tokom ovih okreta sa A 1, A 2 i A 3. Do iste tačke A 3 mogli bismo doći izvođenjem jedne rotacije tačke A pod uglom od 45+60+(−35)=70 stepeni.

Dakle, uglove rotacije veće od 180 stepeni predstavićemo kao nekoliko uzastopnih zaokreta po uglovima, čiji zbir daje vrednost originalnog ugla rotacije. Na primjer, ugao rotacije od 279 stepeni odgovara uzastopnim rotacijama od 180 i 99 stepeni, ili 90, 90, 90 i 9 stepeni, ili 180, 180 i −81 stepen, ili 279 uzastopnih rotacija od 1 stepena.

Uglovi rotacije manji od −180 stepeni određuju se slično. Na primjer, ugao rotacije od −520 stepeni može se tumačiti kao uzastopne rotacije tačke za −180, −180 i −160 stepeni.

Rezimiraj. Odredili smo ugao rotacije čija je vrijednost u stupnjevima izražena nekim realnim brojem iz intervala od −∞ do +∞. U trigonometriji ćemo posebno raditi s uglovima rotacije, iako se riječ "rotacija" često izostavlja i jednostavno kažu "ugao". Dakle, u trigonometriji ćemo raditi sa uglovima proizvoljne veličine, pod kojima mislimo na uglove rotacije.

Da zaključimo ovu poentu, napominjemo da puna rotacija u pozitivnom smjeru odgovara kutu rotacije od 360 stepeni (ili 2 π radijana), au negativnom smjeru - kutu rotacije od -360 stepeni (ili -2 π rad) . U ovom slučaju, pogodno je predstaviti velike uglove rotacije kao određeni broj punih obrtaja i drugu rotaciju pod uglom u rasponu od −180 do 180 stepeni. Na primjer, uzmimo ugao rotacije od 1340 stepeni. Lako je zamisliti 1340 kao 360·4+(−100) . To jest, početni kut rotacije odgovara 4 puna okreta u pozitivnom smjeru i naknadnoj rotaciji od -100 stepeni. Drugi primjer: ugao rotacije od −745 stepeni može se protumačiti kao dva okreta u smjeru suprotnom od kazaljke na satu nakon čega slijedi rotacija od −25 stepeni, budući da −745=(−360) 2+(−25) .

Rotirajte oblik oko tačke za ugao

Koncept rotacije tačke lako se proširuje na rotirati bilo koji oblik oko tačke za ugao(govorimo o takvoj rotaciji da i tačka oko koje se vrši rotacija i figura koja se rotira leže u istoj ravni).

Pod rotacijom figure podrazumijevamo rotaciju svih tačaka figure oko date tačke za dati ugao.

Kao primjer, ilustrujmo sljedeću radnju: rotirajte segment AB za ugao u odnosu na tačku O; ovaj segment će se, kada se rotira, pretvoriti u segment A 1 B 1.

Bibliografija.

• algebra: Udžbenik za 9. razred. avg. škola/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Obrazovanje, 1990.- 272 str.: ilustr.- isbn 5-09-002727-7
• Bašmakov M. I. Algebra i počeci analize: Udžbenik. za 10-11 razred. avg. škola - 3. izd. - M.: Prosveta, 1993. - 351 str.: ilustr. - ISBN 5-09-004617-4.
• Algebra i početak analize: Proc. za 10-11 razred. opšte obrazovanje institucije / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn i drugi; Ed. A. N. Kolmogorov - 14. izd. - M.: Obrazovanje, 2004. - 384 str.: ilustr. - ISBN 5-09-013651-3.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (priručnik za polaznike tehničkih škola): Proc. dodatak.- M.; Više škola, 1984.-351 str., ilustr.

Alfa označava pravi broj. Znak jednakosti u gornjim izrazima pokazuje da ako dodate broj ili beskonačnost beskonačnosti, ništa se neće promijeniti, rezultat će biti ista beskonačnost. Ako za primjer uzmemo beskonačan skup prirodnih brojeva, onda se razmatrani primjeri mogu predstaviti u ovom obliku:

Kako bi jasno dokazali da su bili u pravu, matematičari su smislili mnogo različitih metoda. Lično, na sve ove metode gledam kao na šamane koji plešu uz tamburaše. U suštini, svi se svode na to da su ili neke sobe prazne i da se useljavaju novi gosti, ili da se neki od posjetitelja izbace u hodnik kako bi napravili mjesta za goste (vrlo ljudski). Svoje viđenje takvih odluka iznio sam u formi fantastične priče o Plavuši. Na čemu se zasniva moje rezonovanje? Premještanje beskonačnog broja posjetitelja traje beskonačno vrijeme. Nakon što oslobodimo prvu sobu za gosta, jedan od posetilaca će uvek hodati hodnikom od svoje sobe do sledeće do kraja vremena. Naravno, faktor vremena se može glupo zanemariti, ali ovo će biti u kategoriji „nijedan zakon nije pisan za budale“. Sve zavisi od toga šta radimo: prilagođavamo stvarnost matematičkim teorijama ili obrnuto.

Šta je "beskonačan hotel"? Beskonačan hotel je hotel koji uvijek ima bilo koji broj praznih kreveta, bez obzira na to koliko je soba zauzeto. Ako su sve sobe u beskonačnom hodniku za "posetioce" zauzete, postoji još jedan beskonačni hodnik sa "gostinjskim" sobama. Postojaće beskonačan broj takvih koridora. Štaviše, „beskonačni hotel“ ima beskonačan broj spratova u beskonačnom broju zgrada na beskonačnom broju planeta u beskonačnom broju univerzuma koje je stvorio beskonačan broj bogova. Matematičari nisu u stanju da se distanciraju od banalnih svakodnevnih problema: uvijek postoji samo jedan Bog-Allah-Buda, postoji samo jedan hotel, postoji samo jedan hodnik. Dakle, matematičari pokušavaju da žongliraju serijskim brojevima hotelskih soba, uvjeravajući nas da je moguće “ugurati nemoguće”.

Pokazat ću vam logiku svog razmišljanja na primjeru beskonačnog skupa prirodnih brojeva. Prvo morate odgovoriti na vrlo jednostavno pitanje: koliko skupova prirodnih brojeva postoji - jedan ili više? Ne postoji tačan odgovor na ovo pitanje, jer smo sami izmislili brojeve; brojevi ne postoje u prirodi. Da, priroda je odlična u brojanju, ali za to koristi druge matematičke alate koji nam nisu poznati. Reći ću vam šta priroda misli drugi put. Pošto smo izmislili brojeve, sami ćemo odlučiti koliko skupova prirodnih brojeva ima. Razmotrimo obje opcije, kako i priliči pravim naučnicima.

Opcija jedan. “Neka nam se da” jedan jedini set prirodnih brojeva, koji mirno leži na polici. Uzimamo ovaj set sa police. To je to, nema drugih prirodnih brojeva na polici i nigdje ih uzeti. Ne možemo ga dodati ovom skupu, jer ga već imamo. Šta ako zaista želiš? Nema problema. Možemo uzeti jedan iz seta koji smo već uzeli i vratiti na policu. Nakon toga možemo uzeti jednu s police i dodati je onome što nam je ostalo. Kao rezultat, opet ćemo dobiti beskonačan skup prirodnih brojeva. Sve naše manipulacije možete zapisati ovako:

Zapisao sam radnje u algebarskoj notaciji i u teoriji skupova, sa detaljnim popisom elemenata skupa. Indeks označava da imamo jedan jedini skup prirodnih brojeva. Ispada da će skup prirodnih brojeva ostati nepromijenjen samo ako se od njega oduzme jedan i doda ista jedinica.

Opcija dva. Na našoj polici imamo mnogo različitih beskonačnih skupova prirodnih brojeva. Naglašavam - RAZLIČITIH, uprkos tome što se praktično ne razlikuju. Uzmimo jedan od ovih setova. Zatim uzimamo jedan iz drugog skupa prirodnih brojeva i dodajemo ga skupu koji smo već uzeli. Možemo čak dodati dva skupa prirodnih brojeva. Evo šta dobijamo:

Podskripti "jedan" i "dva" označavaju da su ovi elementi pripadali različitim skupovima. Da, ako dodate jedan beskonačnom skupu, rezultat će također biti beskonačan skup, ali neće biti isti kao originalni skup. Ako jednom beskonačnom skupu dodate još jedan beskonačan skup, rezultat je novi beskonačan skup koji se sastoji od elemenata prva dva skupa.

Skup prirodnih brojeva koristi se za brojanje na isti način kao što se ravnalo za mjerenje. Sada zamislite da ste lenjiru dodali jedan centimetar. Ovo će biti drugačija linija, koja neće biti jednaka originalnoj.

Možete prihvatiti ili ne prihvatiti moje obrazloženje - to je vaša stvar. Ali ako ikada naiđete na matematičke probleme, razmislite da li slijedite put lažnog rasuđivanja kojim su kročile generacije matematičara. Uostalom, proučavanje matematike, prije svega, u nama formira stabilan stereotip mišljenja, a tek onda doprinosi našim mentalnim sposobnostima (ili nas, obrnuto, lišava slobodnog razmišljanja).

Nedjelja, 04.08.2019

Završavao sam postskriptum za članak o i vidio ovaj divan tekst na Wikipediji:

Čitamo: "...bogata teorijska osnova matematike Babilona nije imala holistički karakter i bila je svedena na skup različitih tehnika, lišenih zajedničkog sistema i baze dokaza."

Vau! Koliko smo pametni i koliko dobro vidimo nedostatke drugih. Da li nam je teško da savremenu matematiku posmatramo u istom kontekstu? Malo parafrazirajući gornji tekst, lično sam dobio sljedeće:

Bogata teorijska osnova moderne matematike nije holističke prirode i svedena je na skup različitih sekcija, lišenih zajedničkog sistema i baze dokaza.

Neću ići daleko da potvrdim svoje riječi - ima jezik i konvencije koji se razlikuju od jezika i konvencija mnogih drugih grana matematike. Isti nazivi u različitim granama matematike mogu imati različita značenja. Želim da posvetim čitav niz publikacija najočitijim greškama moderne matematike. Vidimo se uskoro.

Subota 03.08.2019

Kako podijeliti skup na podskupove? Da biste to učinili, potrebno je unijeti novu mjernu jedinicu koja je prisutna u nekom od elemenata odabranog skupa. Pogledajmo primjer.

Neka nam bude dosta A koji se sastoji od četiri osobe. Ovaj skup je formiran na osnovu "ljudi". Označimo elemente ovog skupa slovom A, indeks sa brojem će označavati serijski broj svake osobe u ovom skupu. Hajde da uvedemo novu mjernu jedinicu "pol" i označimo je slovom b. Pošto su seksualne karakteristike svojstvene svim ljudima, svaki element skupa umnožavamo A na osnovu spola b. Primijetite da je naš skup “ljudi” sada postao skup “ljudi s rodnim karakteristikama”. Nakon toga možemo podijeliti spolne karakteristike na muške bm i ženski bw seksualne karakteristike. Sada možemo primijeniti matematički filter: biramo jednu od ovih seksualnih karakteristika, bez obzira koju – mušku ili žensku. Ako ga osoba ima, onda ga množimo sa jedan, ako nema takvog znaka, množimo ga sa nulom. A onda koristimo redovnu školsku matematiku. Vidi šta se desilo.

Nakon množenja, redukcije i preuređivanja, na kraju smo dobili dva podskupa: podskup ljudi Bm i podskup žena Bw. Matematičari razmišljaju na približno isti način kada primjenjuju teoriju skupova u praksi. Ali oni nam ne govore detalje, već nam daju gotov rezultat - "mnogo ljudi se sastoji od podskupine muškaraca i podskupa žena." Naravno, možda imate pitanje: koliko je pravilno matematika primijenjena u gore navedenim transformacijama? Usuđujem se da vas uvjerim da je u suštini sve urađeno kako treba, dovoljno je poznavati matematičke osnove aritmetike, Bulove algebre i drugih grana matematike. Šta je to? Neki drugi put ću vam pričati o ovome.

Što se tiče superskupova, možete kombinovati dva skupa u jedan superskup odabirom mjerne jedinice prisutne u elementima ova dva skupa.

Kao što vidite, mjerne jedinice i obična matematika čine teoriju skupova reliktom prošlosti. Znak da nije sve u redu sa teorijom skupova je to što su matematičari smislili svoj jezik i notaciju za teoriju skupova. Matematičari su se ponašali kao nekada šamani. Samo šamani znaju kako "ispravno" primijeniti svoje "znanje". Oni nas uče ovom "znanju".

U zaključku, želim da vam pokažem kako matematičari manipulišu.

Ponedjeljak, 07.01.2019

U petom veku pre nove ere, starogrčki filozof Zenon iz Eleje formulisao je svoje čuvene aporije, od kojih je najpoznatija aporija „Ahilej i kornjača“. Evo kako to zvuči:

Recimo, Ahil trči deset puta brže od kornjače i hiljadu koraka je iza nje. Za vrijeme koje je Ahileju potrebno da pretrči ovu udaljenost, kornjača će puzati stotinu koraka u istom smjeru. Kada Ahil pretrči stotinu koraka, kornjača puzi još deset koraka, i tako dalje. Proces će se nastaviti do beskonačnosti, Ahilej nikada neće sustići kornjaču.

Ovo razmišljanje je postalo logičan šok za sve naredne generacije. Aristotel, Diogen, Kant, Hegel, Hilbert... Svi su oni na ovaj ili onaj način smatrali Zenonove aporije. Šok je bio toliko jak da je " ... rasprave se nastavljaju do danas; naučna zajednica još nije uspjela doći do zajedničkog mišljenja o suštini paradoksa ... matematička analiza, teorija skupova, novi fizički i filozofski pristupi uključeni su u proučavanje problematike ; nijedan od njih nije postao opšteprihvaćeno rešenje problema..."[Vikipedija, "Zenonova aporija". Svi razumiju da su prevareni, ali niko ne razumije u čemu se sastoji obmana.

Sa matematičke tačke gledišta, Zenon je u svojim aporijama jasno pokazao prelazak sa kvantiteta na . Ovaj prijelaz podrazumijeva primjenu umjesto stalnih. Koliko sam shvatio, matematički aparat za korištenje varijabilnih mjernih jedinica ili još nije razvijen, ili nije primijenjen na Zenonove aporije. Primjena naše uobičajene logike vodi nas u zamku. Mi, zbog inercije mišljenja, primjenjujemo stalne jedinice vremena na recipročnu vrijednost. Sa fizičke tačke gledišta, ovo izgleda kao da se vrijeme usporava dok se potpuno ne zaustavi u trenutku kada Ahil sustigne kornjaču. Ako vrijeme stane, Ahil više ne može pobjeći od kornjače.

Ako okrenemo svoju uobičajenu logiku, sve dolazi na svoje mjesto. Ahil trči konstantnom brzinom. Svaki naredni segment njegovog puta je deset puta kraći od prethodnog. Shodno tome, vrijeme utrošeno na njegovo savladavanje je deset puta manje od prethodnog. Ako u ovoj situaciji primijenimo koncept „beskonačnosti“, tada bi bilo ispravno reći „Ahilej će beskonačno brzo sustići kornjaču“.

Kako izbjeći ovu logičnu zamku? Ostanite u konstantnim jedinicama vremena i ne prelazite na recipročne jedinice. Na Zenonovom jeziku to izgleda ovako:

Za vrijeme koje je Ahileju potrebno da pretrči hiljadu koraka, kornjača će puzati stotinu koraka u istom smjeru. Tokom sledećeg vremenskog intervala jednakog prvom, Ahilej će pretrčati još hiljadu koraka, a kornjača će puzati stotinu koraka. Sada je Ahil osam stotina koraka ispred kornjače.

Ovaj pristup na adekvatan način opisuje stvarnost bez ikakvih logičkih paradoksa. Ali ovo nije potpuno rješenje problema. Ajnštajnova izjava o neodoljivosti brzine svetlosti veoma je slična Zenonovoj aporiji „Ahilej i kornjača“. Ostaje nam da proučimo, preispitamo i riješimo ovaj problem. A rješenje se mora tražiti ne u beskonačno velikim brojevima, već u mjernim jedinicama.

Još jedna zanimljiva Zenonova aporija govori o letećoj strijeli:

Leteća strela je nepomična, pošto u svakom trenutku miruje, a pošto miruje u svakom trenutku, uvek miruje.

U ovoj aporiji logički paradoks je prevaziđen vrlo jednostavno – dovoljno je razjasniti da u svakom trenutku vremena leteća strijela miruje u različitim tačkama u prostoru, što je, u stvari, kretanje. Ovdje treba napomenuti još jednu stvar. Iz jedne fotografije automobila na cesti nemoguće je utvrditi ni činjenicu njegovog kretanja, ni udaljenost do njega. Da biste utvrdili da li se automobil kreće, potrebne su vam dvije fotografije snimljene iz iste tačke u različitim vremenskim trenucima, ali ne možete odrediti udaljenost od njih. Da biste odredili udaljenost do automobila, potrebne su vam dvije fotografije snimljene iz različitih tačaka u prostoru u jednom trenutku, ali iz njih ne možete utvrditi činjenicu kretanja (naravno, još su vam potrebni dodatni podaci za proračune, trigonometrija će vam pomoći ). Ono na šta želim da skrenem posebnu pažnju je da su dve tačke u vremenu i dve tačke u prostoru različite stvari koje ne treba mešati, jer pružaju različite mogućnosti za istraživanje.

Srijeda, 04.07.2018

Već sam vam rekao da uz pomoć toga šamani pokušavaju da razvrstaju ““ stvarnost. Kako to rade? Kako zapravo dolazi do formiranja skupa?

Pogledajmo pobliže definiciju skupa: "kolekcija različitih elemenata, zamišljenih kao jedinstvena cjelina." Sada osjetite razliku između dvije fraze: “zamislivo kao cjelina” i “zamislivo kao cjelina”. Prva fraza je krajnji rezultat, skup. Druga fraza je preliminarna priprema za formiranje mnoštva. U ovoj fazi stvarnost je podijeljena na pojedinačne elemente („cjelina“), iz kojih će se potom formirati mnoštvo („jedinstvena cjelina“). Istovremeno, pažljivo se prati faktor koji omogućava spajanje "cjeline" u "jedinstvenu cjelinu", inače šamani neće uspjeti. Uostalom, šamani unaprijed znaju koji set žele da nam pokažu.

Pokazat ću vam proces na primjeru. Odabiremo "crvenu čvrstu boju u bubuljici" - ovo je naša "cjelina". Istovremeno, vidimo da su ove stvari sa lukom, a postoje i bez luka. Nakon toga odabiremo dio "cjeline" i formiramo set "sa mašnom". Ovako šamani dobijaju hranu vezujući svoju teoriju skupova za stvarnost.

Hajde sada da napravimo mali trik. Uzmimo "čvrsto sa bubuljicom sa mašnom" i kombinujmo ove "cjeline" prema boji, birajući crvene elemente. Imamo dosta "crvenih". Sada poslednje pitanje: da li su dobijeni setovi “sa lukom” i “crvenim” isti set ili dva različita seta? Samo šamani znaju odgovor. Tačnije, oni sami ništa ne znaju, ali kako kažu, tako će i biti.

Ovaj jednostavan primjer pokazuje da je teorija skupova potpuno beskorisna kada je stvarnost u pitanju. u čemu je tajna? Formirali smo set "crvene čvrste s bubuljicom i mašnom." Formiranje se odvijalo u četiri različite mjerne jedinice: boja (crvena), čvrstoća (puna), hrapavost (bubuljičasta), ukras (sa mašnom). Samo skup mjernih jedinica nam omogućava da adekvatno opišemo stvarne objekte jezikom matematike. Ovako to izgleda.

Slovo "a" sa različitim indeksima označava različite mjerne jedinice. U zagradama su istaknute mjerne jedinice po kojima se "cjelina" razlikuje u preliminarnoj fazi. Jedinica mjere po kojoj se skup formira vadi se iz zagrada. Posljednji red prikazuje konačni rezultat - element skupa. Kao što vidite, ako koristimo mjerne jedinice za formiranje skupa, onda rezultat ne ovisi o redoslijedu naših akcija. A ovo je matematika, a ne ples šamana s tamburama. Šamani mogu "intuitivno" doći do istog rezultata, tvrdeći da je to "očigledno", jer jedinice mjere nisu dio njihovog "naučnog" arsenala.

Koristeći mjerne jedinice, vrlo je lako podijeliti jedan set ili kombinirati nekoliko setova u jedan superset. Pogledajmo pobliže algebru ovog procesa.

Subota, 30.06.2018

Ako matematičari ne mogu svesti koncept na druge koncepte, onda ne razumiju ništa o matematici. Odgovaram: kako se elementi jednog skupa razlikuju od elemenata drugog skupa? Odgovor je vrlo jednostavan: brojevi i mjerne jedinice.

Danas sve što ne uzimamo pripada nekom skupu (kako nas matematičari uveravaju). Inače, da li ste u ogledalu na čelu videli spisak onih kompleta kojima pripadate? A takvu listu nisam vidio. Reći ću više – ni jedna stvar u stvarnosti nema oznaku sa spiskom skupova kojima ova stvar pripada. Kompleti su svi izumi šamana. Kako to rade? Zavirimo malo dublje u istoriju i vidimo kako su izgledali elementi skupa prije nego što su ih matematičari šamani uzeli u svoje setove.

Davno, kada niko nikada nije čuo za matematiku, a samo su drveće i Saturn imali prstenove, ogromna krda divljih elemenata skupova lutala su fizičkim poljima (na kraju krajeva, šamani još nisu izmislili matematička polja). Izgledali su otprilike ovako.

Da, nemojte se iznenaditi, sa stanovišta matematike, svi elementi skupova su najsličniji morskim ježevima - iz jedne tačke, poput iglica, jedinice mjere strše u svim smjerovima. Za one koji podsjećam da se svaka mjerna jedinica može geometrijski predstaviti kao segment proizvoljne dužine, a broj kao tačka. Geometrijski, bilo koja veličina se može predstaviti kao gomila segmenata koji strše u različitim smjerovima iz jedne tačke. Ova tačka je nula. Neću crtati ovo geometrijsko djelo (bez inspiracije), ali možete ga lako zamisliti.

Koje mjerne jedinice čine element skupa? Sve vrste stvari koje opisuju dati element sa različitih tačaka gledišta. To su drevne mjerne jedinice koje su koristili naši preci i na koje su svi odavno zaboravili. Ovo su moderne mjerne jedinice koje sada koristimo. To su i nama nepoznate mjerne jedinice do kojih će naši potomci doći i kojima će opisati stvarnost.

Sredili smo geometriju - predloženi model elemenata skupa ima jasnu geometrijsku reprezentaciju. Šta je sa fizikom? Mjerne jedinice su direktna veza između matematike i fizike. Ako šamani ne prepoznaju mjerne jedinice kao punopravni element matematičkih teorija, to je njihov problem. Ja lično ne mogu zamisliti pravu matematičku nauku bez mjernih jedinica. Zato sam na samom početku priče o teoriji skupova govorio da je ona u kamenom dobu.

No, prijeđimo na najzanimljiviju stvar - algebru elemenata skupova. Algebarski, svaki element skupa je proizvod (rezultat množenja) različitih veličina.To izgleda ovako.

Namjerno nisam koristio konvencije teorije skupova, budući da razmatramo element skupa u njegovom prirodnom okruženju prije nastanka teorije skupova. Svaki par slova u zagradama označava zasebnu količinu, koja se sastoji od broja označenog slovom " n" i mjernu jedinicu označenu slovom " a". Indeksi pored slova pokazuju da su brojevi i mjerne jedinice različite. Jedan element skupa može se sastojati od beskonačnog broja veličina (koliko mi i naši potomci imamo dovoljno mašte). Svaka zagrada je geometrijski prikazana kao poseban segment.U primjeru sa ježem jedna zagrada je jedna igla.

Kako šamani formiraju setove od različitih elemenata? Zapravo, mjernim jedinicama ili brojevima. Ne razumijevajući ništa o matematici, uzimaju različite morske ježeve i pažljivo ih pregledavaju u potrazi za tom jedinom iglom, duž koje se formiraju skup. Ako postoji takva igla, onda ovaj element pripada skupu; ako takve igle nema, onda ovaj element nije iz ovog skupa. Šamani nam pričaju bajke o misaonim procesima i cjelini.

Kao što ste možda pretpostavili, isti element može pripadati vrlo različitim skupovima. Zatim ću vam pokazati kako se formiraju skupovi, podskupovi i druge šamanske gluposti. Kao što vidite, "ne mogu postojati dva identična elementa u skupu", ali ako postoje identični elementi u skupu, takav skup se naziva "multiset". Razumna bića nikada neće razumjeti takvu apsurdnu logiku. Ovo je nivo govornih papagaja i dresiranih majmuna, koji nemaju inteligenciju od riječi "potpuno". Matematičari se ponašaju kao obični treneri, propovijedajući nam svoje apsurdne ideje.

Nekada su inženjeri koji su gradili most bili u čamcu ispod mosta dok su testirali most. Ako se most sruši, osrednji inženjer je umro pod ruševinama svoje kreacije. Ako je most mogao izdržati opterećenje, talentirani inženjer je izgradio druge mostove.

Bez obzira na to koliko se matematičari kriju iza fraze „pamet, ja sam u kući“, odnosno „matematika proučava apstraktne pojmove“, postoji jedna pupčana vrpca koja ih neraskidivo povezuje sa stvarnošću. Ova pupčana vrpca je novac. Primijenimo matematičku teoriju skupova na same matematičare.

Odlično smo učili matematiku i sada sjedimo na kasi i izdajemo plate. Dakle, matematičar dolazi kod nas po svoj novac. Odbrojavamo mu cijeli iznos i slažemo ga na našem stolu u različite hrpe, u koje stavljamo novčanice istog apoena. Zatim uzimamo po jedan račun sa svake gomile i dajemo matematičaru njegov „matematički skup plaće“. Objasnimo matematičaru da će preostale račune dobiti tek kada dokaže da skup bez identičnih elemenata nije jednak skupu sa identičnim elementima. Ovdje zabava počinje.

Prije svega, funkcionirat će logika poslanika: „Ovo se može primijeniti na druge, ali ne i na mene!“ Tada će nas početi uvjeravati da novčanice istog apoena imaju različite brojeve novčanica, što znači da se ne mogu smatrati istim elementima. Dobro, računajmo plate u kovanicama - na kovanicama nema brojeva. Ovdje će matematičar početi mahnito da se prisjeća fizike: različiti novčići imaju različite količine prljavštine, kristalna struktura i raspored atoma je jedinstven za svaki novčić...

I sada imam najzanimljivije pitanje: gdje je linija iza koje se elementi multiskupa pretvaraju u elemente skupa i obrnuto? Takva linija ne postoji - o svemu odlučuju šamani, nauka ovdje nije ni blizu da leži.

Pogledati ovdje. Odabiremo fudbalske stadione sa istom površinom terena. Površine polja su iste - što znači da imamo višestruki skup. Ali ako pogledamo imena tih istih stadiona, dobijamo mnogo, jer su imena različita. Kao što vidite, isti skup elemenata je i skup i multiskup. Šta je tačno? I ovdje matematičar-šaman-oštrica izvlači keca aduta iz rukava i počinje nam pričati ili o setu ili o multisetu. U svakom slučaju, on će nas uvjeriti da je u pravu.

Da bismo razumjeli kako moderni šamani operiraju teorijom skupova, vezujući je za stvarnost, dovoljno je odgovoriti na jedno pitanje: kako se elementi jednog skupa razlikuju od elemenata drugog skupa? Pokazaću vam, bez ikakvog "zamislivog kao nijedna celina" ili "nezamislivog kao jedinstvene celine".

U prošloj lekciji smo uspješno savladali (ili ponovili, ovisno o tome ko) ključne pojmove sve trigonometrije. Ovo trigonometrijski krug , ugao na krugu , sinus i kosinus ovog ugla , a takođe i savladao znakovi trigonometrijskih funkcija po četvrtinama . Savladali smo ga do detalja. Na prstima, moglo bi se reći.

Ali ovo još nije dovoljno. Da bismo sve ove jednostavne koncepte uspješno primijenili u praksi, potrebna nam je još jedna korisna vještina. Naime - tačno rad sa uglovima u trigonometriji. Bez ove vještine u trigonometriji, nema šanse. Čak iu najprimitivnijim primjerima. Zašto? Da, jer je ugao ključna operativna figura u svakoj trigonometriji! Ne, ne trigonometrijske funkcije, ne sinus i kosinus, ne tangenta i kotangens, tj. sam ugao. Nema ugla znači nema trigonometrijskih funkcija, da...

Kako raditi sa uglovima na kružnici? Da bismo to učinili, moramo čvrsto uhvatiti dvije tačke.

1) Kako Da li se uglovi mjere na kružnici?

2) Šta da li se broje (mjere)?

Odgovor na prvo pitanje je tema današnje lekcije. Prvim pitanjem ćemo se detaljno pozabaviti upravo ovdje i sada. Na drugo pitanje ovde neću davati odgovor. Zato što je dosta razvijeno. Kao što je i samo drugo pitanje vrlo klizavo, da.) Neću još ulaziti u detalje. Ovo je tema sljedeće odvojene lekcije.

Hoćemo li početi?

Kako se mjere uglovi na krugu? Pozitivni i negativni uglovi.

Onima koji pročitaju naslov pasusa možda se već diže kosa na glavi. Kako to?! Negativni uglovi? Je li to uopće moguće?

Na negativan brojevi Već smo se navikli. Možemo ih prikazati na brojevnoj osi: desno od nule su pozitivne, lijevo od nule su negativne. Da, i povremeno gledamo u termometar izvan prozora. Pogotovo zimi, po hladnoći.) A novac na telefonu je u minusu (tj. dužnost) ponekad odlaze. Ovo je sve poznato.

Šta je sa uglovima? Ispada da su negativni uglovi u matematici postoje i! Sve zavisi od toga kako izmeriti baš ovaj ugao... ne, ne na brojevnoj pravoj, već na brojevnoj kružnici! Odnosno, na krug. Krug - evo ga, analoga brojevne prave u trigonometriji!

dakle, Kako se mjere uglovi na krugu? Ne možemo ništa učiniti, prvo ćemo morati nacrtati upravo ovaj krug.

Nacrtaću ovu prelepu sliku:

Vrlo je sličan slikama sa prošle lekcije. Postoje ose, postoji krug, postoji ugao. Ali ima i novih informacija.

Također sam dodao brojeve od 0°, 90°, 180°, 270° i 360° na osi. Sad je ovo zanimljivije.) Kakvi su to brojevi? Tačno! Ovo su vrijednosti uglova izmjerene s naše fiksne strane koja pada na koordinatne ose. Setimo se da je fiksna strana ugla uvek čvrsto vezana za pozitivnu poluos OX. I svaki ugao u trigonometriji se meri upravo od ove poluose. Ovo osnovno polazište za uglove treba imati na umu. A ose – seku se pod pravim uglom, zar ne? Dakle, dodajemo 90° u svakoj četvrtini.

I još dodano crvena strelica. Sa plusom. Crvena je namjerno da upadne u oči. I dobro mi se urezao u pamćenje. Jer ovo se mora pouzdano zapamtiti.) Šta ova strelica znači?

Tako ispada da ako skrenemo naš ugao duž strelice sa plusom(u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, prema numeraciji četvrtina), zatim ugao smatraće se pozitivnim! Kao primjer, na slici je prikazan ugao od +45°. Usput, imajte na umu da su aksijalni uglovi 0°, 90°, 180°, 270° i 360° također premotani u pozitivnom smjeru! Pratite crvenu strelicu.

Sada pogledajmo drugu sliku:

Ovdje je skoro sve isto. Samo uglovi na osovinama su numerisani obrnuto. U smjeru kazaljke na satu. I imaju znak minus.) Još ucrtano plava strelica. Takođe sa minusom. Ova strelica je smjer negativnih uglova na kružnici. Ona nam to pokazuje ako odgodimo naš korner u smjeru kazaljke na satu, To ugao će se smatrati negativnim. Na primjer, pokazao sam ugao od -45°.

Uzgred, imajte na umu da se numeracija četvrti nikada ne mijenja! Nije bitno da li pomeramo uglove na plus ili minus. Uvijek striktno u smjeru suprotnom od kazaljke na satu.)

Zapamtite:

1. Početna tačka za uglove je od pozitivne poluose OX. Po satu – „minus“, prema satu – „plus“.

2. Numeracija četvrtina je uvijek u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, bez obzira na smjer u kojem se računaju uglovi.

Inače, označavanje uglova na osovinama 0°, 90°, 180°, 270°, 360°, pri svakom crtanju kruga, uopće nije obavezno. Ovo je učinjeno čisto radi razumijevanja poenta. Ali ovi brojevi moraju biti prisutni u tvojoj glavi pri rješavanju bilo kojeg trigonometrijskog problema. Zašto? Da, jer ovo osnovno znanje daje odgovore na mnoga druga pitanja u cijeloj trigonometriji! Najvažnije pitanje je U koju četvrtinu pada ugao koji nas zanima? Vjerovali ili ne, tačan odgovor na ovo pitanje rješava lavovski dio svih ostalih trigonometrijskih problema. Ovim važnim zadatkom (raspodjela uglova na četvrtine) bavit ćemo se u istoj lekciji, ali nešto kasnije.

Vrijednosti uglova koji leže na koordinatnoj osi (0°, 90°, 180°, 270° i 360°) moraju se zapamtiti! Zapamtite to čvrsto, dok ne postane automatski. I plus i minus.

Ali od ovog trenutka počinju prva iznenađenja. A uz njih, škakljiva pitanja upućena meni, da...) Šta se dešava ako je na krugu negativan ugao poklapa sa pozitivnim? Ispostavilo se da ista tačka na kružnici se može označiti i pozitivnim i negativnim uglom???

Apsolutno u pravu! To je tačno.) Na primjer, pozitivan ugao od +270° zauzima krug ista situacija , isto kao i negativni ugao od -90°. Ili će, na primjer, uzeti pozitivan kut od +45° na krug ista situacija , isto kao i negativni ugao -315°.

Gledamo sljedeći crtež i vidimo sve:

Na isti način, pozitivan ugao od +150° pada na isto mesto kao i negativan ugao od -210°, pozitivan ugao od +230° pada na isto mesto kao i negativan ugao od -130°. I tako dalje…

I šta sad mogu učiniti? Kako tačno brojati uglove, ako to možete ovako i onako? Šta je tačno?

odgovor: u svakom pogledu tačno! Matematika ne zabranjuje ni jedan od dva smjera za brojanje uglova. A izbor određenog smjera ovisi isključivo o zadatku. Ako zadatak ne kaže ništa u čistom tekstu o predznaku ugla (npr "definiši najveće negativan ugao" itd.), tada radimo sa uglovima koji nam najviše odgovaraju.

Naravno, na primjer, u tako zanimljivim temama kao što su trigonometrijske jednačine i nejednačine, smjer izračunavanja ugla može imati ogroman utjecaj na odgovor. I u relevantnim temama ćemo razmotriti ove zamke.

Zapamtite:

Bilo koja tačka na kružnici može se označiti pozitivnim ili negativnim uglom. Bilo ko! Šta god želimo.

Sada razmislimo o ovome. Saznali smo da je ugao od 45° potpuno isti kao ugao od -315°? Kako sam saznao za ove iste 315° ? Zar ne možete pogoditi? Da! Kroz punu rotaciju.) Za 360°. Imamo ugao od 45°. Koliko vremena je potrebno da se završi puna revolucija? Oduzmi 45° od 360° - pa dobijamo 315° . Krećemo se u negativnom smjeru i dobićemo ugao od -315°. Još uvijek nije jasno? Zatim ponovo pogledajte gornju sliku.

I to uvijek treba učiniti kada pretvarate pozitivne uglove u negativne (i obrnuto) - nacrtajte krug, označite otprilike zadati ugao, izračunavamo koliko stepeni nedostaje da se završi puna revolucija i pomeramo rezultujuću razliku u suprotnom smeru. To je sve.)

Šta je još zanimljivo u vezi sa uglovima koji zauzimaju istu poziciju na kružnici, šta mislite? I činjenica da na takvim uglovima upravo isto sinus, kosinus, tangent i kotangens! Uvijek!

Na primjer:

Sin45° = sin(-315°)

Cos120° = cos(-240°)

Tg249° = tg(-111°)

Ctg333° = ctg(-27°)

Ali ovo je izuzetno važno! Za što? Da, sve za istu stvar!) Da pojednostavim izraze. Zato što je pojednostavljivanje izraza ključna procedura za uspješno rješenje bilo koji zadaci iz matematike. I u trigonometriji takođe.

Dakle, shvatili smo opšte pravilo za brojanje uglova na krugu. Pa, ako smo počeli da pričamo o punim zaokretima, o četvrtinama, onda je vreme da se izvrnemo i nacrtamo upravo ove uglove. Da crtamo?)

Počnimo sa pozitivno uglovi Biće ih lakše crtati.

Crtamo uglove unutar jednog obrtaja (između 0° i 360°).

Nacrtajmo, na primjer, ugao od 60°. Ovdje je sve jednostavno, bez problema. Crtamo koordinatne osi i krug. To možete učiniti direktno rukom, bez kompasa ili ravnala. Hajde da crtamo shematski: Ne crtamo sa vama. Ne morate se pridržavati nijednog GOST-a, nećete biti kažnjeni.)

Možete (za sebe) označiti vrijednosti uglova na osi i usmjeriti strelicu u smjeru prema satu. Na kraju krajeva, mi ćemo uštedjeti kao plus?) Ne morate to raditi, ali morate sve držati u glavi.

A sada crtamo drugu (pokretnu) stranu ugla. U kom tromesečju? U prvom, naravno! Zato što je 60 stepeni striktno između 0° i 90°. Dakle, u prvoj četvrtini remiziramo. Pod uglom otprilike 60 stepeni na fiksnu stranu. Kako brojati otprilike 60 stepeni bez uglomera? Lako! 60° je dvije trećine pravog ugla! Mentalno dijelimo prvog đavola kruga na tri dijela, uzimajući dvije trećine za sebe. I crtamo... Koliko zapravo stignemo (ako pričvrstite kutomjer i izmjerite) - 55 stepeni ili 64 - nije bitno! Bitno je da je još tu negdje oko 60°.

Dobijamo sliku:

To je sve. I nikakav alat nije bio potreban. Razvijajmo naše oko! Dobro će doći u geometrijskim problemima.) Ovaj neugledni crtež je neophodan kada treba brzo da nažvrljate krug i ugao, a da ne razmišljate baš o lepoti. Ali u isto vrijeme škrabajte U redu, bez grešaka, sa svim potrebnim informacijama. Na primjer, kao pomoć pri rješavanju trigonometrijskih jednačina i nejednačina.

Nacrtajmo sada ugao, na primjer, 265°. Hajde da shvatimo gde bi se mogao nalaziti? Pa, jasno je da ne u prvoj četvrtini, pa čak ni u drugoj: završavaju na 90 i 180 stepeni. Možete shvatiti da je 265° 180° plus još 85°. Odnosno, negativnoj poluosi OX (gdje 180°) trebate dodati otprilike 85°. Ili, još jednostavnije, pogodite da 265° ne dostiže negativnu poluos OY (gdje je 270°) nekih nesretnih 5°. Ukratko, u trećoj četvrtini će biti ovaj ugao. Vrlo blizu negativne poluosi OY, do 270 stepeni, ali ipak u trećoj!

crtajmo:

Opet, ovdje nije potrebna apsolutna preciznost. Neka se u stvarnosti pokaže da je ovaj ugao, recimo, 263 stepena. Ali na najvažnije pitanje (koja četvrtina?) tačno smo odgovorili. Zašto je ovo najvažnije pitanje? Da, jer svaki rad s uglom u trigonometriji (nije bitno da li crtamo ovaj ugao ili ne) počinje upravo odgovorom na ovo pitanje! Uvijek. Ako zanemarite ovo pitanje ili pokušate mentalno odgovoriti na njega, onda su greške gotovo neizbježne, da... Da li vam treba?

Zapamtite:

Svaki rad s uglom (uključujući crtanje ovog ugla na kružnici) uvijek počinje određivanjem četvrtine u koju ovaj kut pada.

Sada se nadam da možete precizno prikazati uglove, na primjer, 182°, 88°, 280°. IN ispravančetvrtine. U trećem, prvom i četvrtom, ako to...)

Četvrta četvrtina se završava pod uglom od 360°. Ovo je jedna puna revolucija. Jasno je da ovaj ugao zauzima istu poziciju na kružnici kao 0° (tj. ishodište). Ali uglovi se tu ne završavaju, da...

Šta raditi s uglovima većim od 360°?

“Postoje li zaista takve stvari?”- pitate. One se dešavaju! Postoji, na primjer, ugao od 444°. A ponekad, recimo, ugao od 1000°. Ima raznih uglova.) Samo što se vizuelno takvi egzotični uglovi percipiraju malo teže od uglova na koje smo navikli u jednoj revoluciji. Ali takođe morate biti u stanju da nacrtate i izračunate takve uglove, da.

Da biste ispravno nacrtali takve kutove na krugu, morate učiniti istu stvar - saznati U koju četvrtinu pada ugao koji nas zanima? Ovdje je sposobnost preciznog određivanja četvrtine mnogo važnija nego za uglove od 0° do 360°! Sama procedura određivanja tromjesečja je komplikovana samo jednim korakom. Uskoro ćete vidjeti šta je.

Tako, na primjer, trebamo otkriti u koji kvadrant spada ugao od 444°. Počnimo da se vrtimo. Gdje? Plus, naravno! Dali su nam pozitivan ugao! +444°. Uvijamo, uvijamo... Uvijali smo ga jedan okret - došli smo do 360°.

Koliko je ostalo do 444°?Računamo preostali rep:

444°-360° = 84°.

Dakle, 444° je jedna puna rotacija (360°) plus još 84°. Očigledno je ovo prvo tromjesečje. Dakle, ugao od 444° pada u prvoj četvrtini. Pola bitke je obavljeno.

Sada ostaje samo da se prikaže ovaj ugao. Kako? Veoma jednostavno! Napravimo jedan puni okret duž crvene (plus) strelice i dodamo još 84°.

Volim ovo:

Ovdje se nisam zamarao zatrpavanjem crteža - označavanjem četvrtina, crtanjem uglova na osovinama. Sve ove dobre stvari su mi već dugo trebale biti u glavi.)

Ali koristio sam „puža“ ili spiralu da pokažem tačno kako se ugao od 444° formira od uglova od 360° i 84°. Isprekidana crvena linija je jedna puna revolucija. Na koje je dodatno pričvršćeno 84° (puna linija). Usput, imajte na umu da ako se ova puna revolucija odbaci, to ni na koji način neće utjecati na poziciju našeg ugla!

Ali ovo je važno! Kutna pozicija 444° potpuno se poklapa sa kutnom pozicijom od 84°. Nema čuda, jednostavno tako ispadne.)

Da li je moguće odbaciti ne jednu punu revoluciju, već dva ili više?

Zašto ne? Ako je ugao veliki, onda je to ne samo moguće, nego čak i neophodno! Ugao se neće promeniti! Tačnije, sam ugao će se, naravno, promijeniti u veličini. Ali njegova pozicija u krugu apsolutno nije!) Zato su pun revolucije, da bez obzira koliko kopija dodate, koliko god oduzmete, i dalje ćete završiti na istoj tački. Lepo, zar ne?

Zapamtite:

Ako kutu dodate (oduzmete) bilo koji ugao cijeli broj punih okretaja, pozicija originalnog ugla na krugu NEĆE se promijeniti!

Na primjer:

U koju četvrtinu pada ugao od 1000°?

Nema problema! Brojimo koliko je punih okretaja u hiljadu stepeni. Jedan obrt je 360°, drugi je već 720°, treći je 1080°... Stani! Previse! To znači da se nalazi pod uglom od 1000° dva puni okreti. Izbacujemo ih iz 1000° i izračunavamo ostatak:

1000° - 2 360° = 280°

Dakle, položaj ugla je 1000° na kružnici isto, kao pod uglom od 280°. Sa kojim je mnogo prijatnije raditi.) A gde pada ovaj kutak? Pada u četvrtu četvrtinu: 270° (negativna polu-osa OY) plus još deset.

crtajmo:

Ovdje više nisam crtao dva puna zavoja sa tačkastom spiralom: ispostavilo se da je predugačak. Upravo sam nacrtao preostali rep od nule, odbacivanje Sve ekstra okreta. Kao da uopšte ne postoje.)

Ponovo. Na dobar način, uglovi 444° i 84°, kao i 1000° i 280° su različiti. Ali za sinus, kosinus, tangentu i kotangens ovi uglovi su - isto!

Kao što vidite, da biste radili s uglovima većim od 360°, morate odrediti koliko punih obrtaja se nalazi pod datim velikim uglom. Ovo je vrlo dodatni korak koji se prvo mora uraditi kada se radi s takvim uglovima. Ništa komplikovano, zar ne?

Odbijanje punih okretaja je, naravno, ugodno iskustvo.) Ali u praksi, kada se radi sa apsolutno strašnim uglovima, nastaju poteškoće.

Na primjer:

U koju četvrtinu pada ugao 31240°?

Pa šta, hoćemo li dodati 360 stepeni mnogo, mnogo puta? Moguće je, ako ne gori previše. Ali ne možemo samo sabirati.) Možemo i dijeliti!

Dakle, podijelimo naš ogroman ugao na 360 stepeni!

Ovom akcijom ćemo saznati koliko je tačno punih obrtaja skriveno u naših 31240 stepeni. Možete ga podijeliti u kut, možete (šapnite na uho:)) na kalkulatoru.)

Dobijamo 31240:360 = 86,777777….

Činjenica da se taj broj pokazao kao razlomak nije zastrašujuća. Samo mi cijeli Zanimaju me okretaji! Stoga, nema potrebe za potpunom podjelom.)

Dakle, u našem čupavom uglju ima čak 86 punih okretaja. užas…

Biće u stepenima86·360° = 30960°

Volim ovo. Točno koliko stepeni se može bezbolno izbaciti iz datog ugla od 31240°. Ostaci:

31240° - 30960° = 280°

Sve! Položaj ugla 31240° je potpuno identificiran! Isto mjesto kao 280°. One. četvrta četvrtina.) Mislim da smo već ranije prikazali ovaj ugao? Kada je nacrtan ugao od 1000°?) Tamo smo išli za 280 stepeni. Slučajnost.)

Dakle, moral ove priče je:

Ako nam je dat zastrašujući veliki ugao, onda:

1. Odredite koliko je punih okretaja u ovom uglu. Da biste to učinili, podijelite originalni ugao za 360 i odbacite frakcijski dio.

2. Brojimo koliko stupnjeva ima rezultirajući broj okretaja. Da biste to učinili, pomnožite broj okretaja sa 360.

3. Ove okretaje oduzimamo od originalnog ugla i radimo sa uobičajenim uglom u rasponu od 0° do 360°.

Kako raditi s negativnim uglovima?

Nema problema! Potpuno isto kao i kod pozitivnih, samo sa jednom jedinom razlikom. Koji? Da! Morate skrenuti uglove poleđina, oduzeti! Ide u smjeru kazaljke na satu.)

Nacrtajmo, na primjer, ugao od -200°. Prvo, sve je kao i obično za pozitivne uglove - ose, krug. Nacrtajmo i plavu strelicu sa minusom i drugačije potpišemo uglove na osi. Naravno, i oni će se morati računati u negativnom smjeru. To će biti isti uglovi, prelazeći kroz 90°, ali računati u suprotnom smjeru, na minus: 0°, -90°, -180°, -270°, -360°.

Slika će izgledati ovako:

Kada radite s negativnim uglovima, često postoji osjećaj blagog zbunjenosti. Kako to?! Ispada da je ista osa, recimo, +90° i -270° u isto vrijeme? Ne, ovde nešto nije u redu...

Da, sve je čisto i transparentno! Već znamo da se svaka tačka na kružnici može nazvati pozitivnim ili negativnim uglom! Apsolutno bilo koji. Uključujući i neke od koordinatnih osa. U našem slučaju trebamo negativan račun ugla. Tako da sve uglove zakačimo na minus.)

Sada pravilno crtanje ugla -200° nije nimalo teško. Ovo je -180° i oduzeti još 20°. Počinjemo da se ljuljamo od nule do minusa: letimo kroz četvrtu četvrtinu, promašimo i treću, stižemo do -180°. Gdje da potrošim preostalih dvadeset? Da, sve je tu! Po satu.) Ukupni ugao -200° pada unutar sekunda kvartal.

Shvaćate li sada koliko je važno čvrsto zapamtiti uglove na koordinatnim osa?

Uglove na koordinatnoj osi (0°, 90°, 180°, 270°, 360°) moraju se precizno zapamtiti kako bi se tačno odredila četvrtina u kojoj ugao pada!

Šta ako je ugao veliki, sa nekoliko punih okreta? Uredu je! Kakva je razlika da li su ove pune revolucije okrenute pozitivnom ili negativnom? Tačka na kružnici neće promijeniti svoj položaj!

Na primjer:

U koju četvrtinu pada ugao -2000°?

Sve isto! Prvo, brojimo koliko punih okretaja sedi u ovom zlom kutu. Da ne bismo zabrljali znakove, ostavimo minus za sada na miru i jednostavno podijelimo 2000 sa 360. Dobićemo 5 sa repom. Za sada nas rep ne zanima, računaćemo ga malo kasnije kada izvučemo ugao. Mi računamo pet pune revolucije u stepenima:

5 360° = 1800°

Vau. To je upravo koliko dodatnih stepeni možemo bezbedno izbaciti iz svog ugla, a da ne oštetimo svoje zdravlje.

Računamo preostali rep:

2000° – 1800° = 200°

Ali sada se možemo sjetiti minusa.) Gdje ćemo namotati rep od 200°? Minus, naravno! Dat nam je negativan ugao.)

2000° = -1800° - 200°

Dakle, crtamo ugao od -200°, samo bez ikakvih dodatnih okretaja. Upravo sam nacrtao, ali neka bude, nacrtaću ga još jednom. Ručno.

Jasno je da dati ugao -2000°, kao i -200°, spada unutar druga četvrtina.

Pa, hajde da poludimo... izvini... na našu glavu:

Ako je zadan vrlo veliki negativan kut, tada je prvi dio rada s njim (pronalaženje broja punih okretaja i njihovo odbacivanje) isti kao kod rada s pozitivnim kutom. Znak minus ne igra nikakvu ulogu u ovoj fazi rješenja. Znak se uzima u obzir samo na samom kraju, kada se radi s uglom preostalim nakon uklanjanja punih okretaja.

Kao što vidite, crtanje negativnih uglova na krugu nije ništa teže od pozitivnih.

Sve je isto, samo u drugom pravcu! Po satu!

Sada dolazi najzanimljiviji dio! Gledali smo pozitivne uglove, negativne uglove, velike uglove, male uglove - ceo opseg. Također smo otkrili da se bilo koja tačka na kružnici može nazvati pozitivnim i negativnim uglom, odbacili smo pune okrete... Ima li razmišljanja? Mora se odgoditi...

Da! Koju god tačku na krugu uzmete, ona će odgovarati beskonačan broj uglova! Velike i ne tako velike, pozitivne i negativne - sve vrste! I razlika između ovih uglova će biti cijeli broj punih okretaja. Uvijek! Tako funkcionira trigonometrijski krug, da...) Zato obrnuto zadatak je pronaći ugao koristeći poznati sinus/kosinus/tangenta/kotangenta - rješivo dvosmisleno. I mnogo teže. Za razliku od direktnog problema - zadati ugao, pronaći cijeli skup njegovih trigonometrijskih funkcija. I u ozbiljnijim temama trigonometrije ( lukovi, trigonometrijski jednačine I nejednakosti ) stalno ćemo se susresti s ovim trikom. Navikavamo se.)

1. U koju četvrtinu pada ugao -345°?

2. U koju četvrtinu pada ugao 666°?

3. U koju četvrtinu pada ugao 5555°?

4. U koju četvrtinu pada ugao -3700°?

5. Šta znači znakcos999°?

6. Šta znači znakctg999°?

I da li je uspjelo? Divno! Postoji problem? Onda ti.

odgovori:

1. 1

2. 4

3. 2

4. 3

5. "+"

6. "-"

Ovoga puta odgovori su dati po redu, kršeći tradiciju. Jer postoje samo četiri četvrtine, a postoje samo dva znaka. Nećeš baš pobeći...)

U sledećoj lekciji ćemo pričati o radijanima, o misterioznom broju "pi", naučićemo kako lako i jednostavno pretvoriti radijane u stepene i obrnuto. I bićemo iznenađeni kada otkrijemo da će nam čak i ovo jednostavno znanje i vještine biti sasvim dovoljni za uspješno rješavanje mnogih netrivijalnih trigonometrijskih problema!

Ako ste već upoznati sa trigonometrijski krug , a želite samo da osvježite sjećanje na određene elemente, ili ste potpuno nestrpljivi, evo ga:

Ovdje ćemo sve detaljno analizirati korak po korak.

Trigonometrijski krug nije luksuz, već potreba

Trigonometrija Mnogi ga povezuju s neprolaznom gustišom. Odjednom se nakupi toliko vrijednosti trigonometrijskih funkcija, toliko formula... Ali kao, nije išlo na početku, i... idemo... potpuni nesporazum...

Veoma je važno ne odustati vrijednosti trigonometrijskih funkcija, - kažu, uvijek možete pogledati špur sa tablicom vrijednosti.

Ako stalno gledate u tablicu s vrijednostima trigonometrijskih formula, riješimo se ove navike!

On će nam pomoći! Radit ćete s njim nekoliko puta, a onda će vam se pojaviti u glavi. Kako je bolje od stola? Da, u tabeli ćete naći ograničen broj vrijednosti, ali u krugu - SVE!

Na primjer, recite dok gledate standardna tablica vrijednosti trigonometrijskih formula , koliko je sinus jednak, recimo, 300 stepeni, ili -45.

Nema šanse?.. možete se, naravno, povezati formule redukcije... A gledajući trigonometrijski krug, lako možete odgovoriti na takva pitanja. I uskoro ćete znati kako!

A kada se rješavaju trigonometrijske jednadžbe i nejednačine bez trigonometrijskog kruga, nema ga apsolutno nigdje.

Uvod u trigonometrijski krug

Idemo redom.

Prvo, napišimo ovu seriju brojeva:

A sad ovo:

I na kraju ovaj:

Naravno, jasno je da je, zapravo, na prvom mjestu , na drugom mjestu je , a na posljednjem mjestu je . Odnosno, bićemo više zainteresovani za lanac.

Ali kako je lepo ispalo! Ako se nešto desi, mi ćemo obnoviti ove "čudesne ljestve".

A zašto nam treba?

Ovaj lanac je glavne vrijednosti sinusa i kosinusa u prvom kvartalu.

Nacrtajmo krug jediničnog radijusa u pravougaonom koordinatnom sistemu (to jest, uzmemo bilo koji poluprečnik po dužini i proglasimo njegovu dužinu jediničnom).

Od grede "0-Start" polažemo uglove u smjeru strelice (vidi sliku).

Dobijamo odgovarajuće tačke na kružnici. Dakle, ako projiciramo tačke na svaku od osa, dobićemo tačno vrednosti ​​iz gornjeg lanca.

Zašto je to, pitate se?

Hajde da ne analiziramo sve. Hajde da razmotrimo princip, što će vam omogućiti da se nosite s drugim, sličnim situacijama.

Trokut AOB je pravougaonog oblika i sadrži . A znamo da naspram ugla b leži krak upola manji od hipotenuze (imamo hipotenuzu = poluprečnik kružnice, odnosno 1).

To znači AB= (i stoga OM=). I prema Pitagorinoj teoremi

Nadam se da je nešto već postalo jasno?

Dakle, tačka B će odgovarati vrednosti, a tačka M će odgovarati vrednosti

Isto je i sa ostalim vrijednostima prvog kvartala.

Kao što razumijete, poznata os (vol) će biti kosinus osa, a os (oy) – osa sinusa . Kasnije.

Levo od nule duž kosinusne ose (ispod nule duž ose sinusa) biće, naravno, negativne vrednosti.

Dakle, evo ga, SVEMOĆNI, bez koga nema nigdje u trigonometriji.

Ali razgovarat ćemo o tome kako koristiti trigonometrijski krug.

Ugao: ° π rad =

Pretvori u: radijani stepeni 0 - 360° 0 - 2π pozitivno negativno Izračunaj

Kada se linije seku, postoje četiri različite oblasti u odnosu na tačku preseka.
Ove nove oblasti se zovu uglovi.

Na slici su prikazana 4 različita ugla formirana presekom pravih AB i CD

Uglovi se obično mjere u stepenima, što se označava kao °. Kada objekat napravi potpuni krug, odnosno kreće se od tačke D kroz B, C, A, a zatim nazad u D, onda se kaže da se okrenuo za 360 stepeni (360°). Dakle, stepen je $\frac(1)(360)$ kruga.

Uglovi veći od 360 stepeni

Razgovarali smo o tome kako kada objekat napravi puni krug oko tačke, ide za 360 stepeni, međutim, kada objekat napravi više od jednog kruga, pravi ugao veći od 360 stepeni. Ovo je uobičajena pojava u svakodnevnom životu. Točak obilazi mnogo krugova kada se automobil kreće, odnosno formira ugao veći od 360°.

Da bismo saznali broj ciklusa (završenih krugova) prilikom rotacije objekta, brojimo koliko puta trebamo dodati 360 sebi da bismo dobili broj jednak ili manji od zadanog kuta. Na isti način nalazimo broj koji pomnožimo sa 360 da bismo dobili broj koji je manji, ali najbliži datom kutu.

Primjer 2
1. Pronađite broj krugova opisanih objektom koji formira ugao
a) 380°
b) 770°
c) 1000°
Rješenje
a) 380 = (1 × 360) + 20
Predmet je opisao jedan krug i 20°
Pošto je $20^(\circ) = \frac(20)(360) = \frac(1)(18)$ krug
Objekt je opisao $1\frac(1)(18)$ krugove.

B) 2 × 360 = 720
770 = (2 × 360) + 50
Predmet je opisao dva kruga i 50°
$50^(\circ) = \frac(50)(360) = \frac(5)(36)$ krug
Objekat koji je opisao $2\frac(5)(36)$ kruga
c)2 × 360 = 720
1000 = (2 × 360) + 280
$280^(\circ) = \frac(260)(360) = \frac(7)(9)$ krugovi
Objekt je opisao $2\frac(7)(9)$ krugove

Kada se predmet rotira u smjeru kazaljke na satu, formira negativan kut rotacije, a kada se rotira u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, formira pozitivan kut. Do sada smo razmatrali samo pozitivne uglove.

U obliku dijagrama, negativan ugao se može prikazati kao što je prikazano ispod.

Na slici ispod prikazan je znak ugla, koji se meri od zajedničke prave linije, 0 ose (x-osa - x-osa)

To znači da ako postoji negativan ugao, možemo dobiti odgovarajući pozitivan ugao.
Na primjer, dno okomite linije je 270°. Kada se mjeri u negativnom smjeru, dobivamo -90°. Jednostavno oduzimamo 270 od 360. Za negativan ugao, dodajemo 360 da dobijemo odgovarajući pozitivni ugao.
Kada je ugao -360°, to znači da je objekt napravio više od jednog kruga u smjeru kazaljke na satu.

Primjer 3
1. Pronađite odgovarajući pozitivni ugao
a) -35°
b) -60°
c) -180°
d) - 670°

2. Pronađite odgovarajući negativni ugao od 80°, 167°, 330° i 1300°.
Rješenje
1. Da bismo pronašli odgovarajući pozitivni ugao, dodamo 360 na vrijednost ugla.
a) -35°= 360 + (-35) = 360 - 35 = 325°
b) -60°= 360 + (-60) = 360 - 60 = 300°
c) -180°= 360 + (-180) = 360 - 180 = 180°
d) -670°= 360 + (-670) = -310
To znači jedan krug u smjeru kazaljke na satu (360)
360 + (-310) = 50°
Ugao je 360 ​​+ 50 = 410°

2. Da bismo dobili odgovarajući negativni ugao, oduzimamo 360 od vrijednosti ugla.
80° = 80 - 360 = - 280°
167° = 167 - 360 = -193°
330° = 330 - 360 = -30°
1300° = 1300 - 360 = 940 (jedan krug završen)
940 - 360 = 580 (drugi krug završen)
580 - 360 = 220 (treća runda završena)
220 - 360 = -140°
Ugao je -360 - 360 - 360 - 140 = -1220°
Dakle, 1300° = -1220°

Radian

Radijan je ugao iz središta kruga koji zatvara luk čija je dužina jednaka poluprečniku kružnice. Ovo je mjerna jedinica za ugaonu veličinu. Ovaj ugao je približno 57,3°.
U većini slučajeva, ovo se označava kao drago.
Dakle, $1 rad \približno 57.3^(\circ)$

Radijus = r = OA = OB = AB
Ugao BOA jednak je jednom radijanu

Pošto je obim zadan kao $2\pi r$, tada u krugu postoje $2\pi$ radijusi, pa stoga u cijelom krugu ima $2\pi$ radijana.

Radijani se obično izražavaju u $\pi$ kako bi se izbjegle decimale u proračunima. U većini knjiga, skraćenica drago se ne dešava, ali čitalac treba da zna da kada je u pitanju ugao, on je specificiran u terminima $\pi$, a merne jedinice automatski postaju radijani.

$360^(\circ) = 2\pi\rad$
$180^(\circ) = \pi\rad$,
$90^(\circ) = \frac(\pi)(2) rad$,
$30^(\circ) = \frac(30)(180)\pi = \frac(\pi)(6) rad$,
$45^(\circ) = \frac(45)(180)\pi = \frac(\pi)(4) rad$,
$60^(\circ) = \frac(60)(180)\pi = \frac(\pi)(3) rad$
$270^(\circ) = \frac(270)(180)\pi = \frac(27)(18)\pi = 1\frac(1)(2)\pi\ rad$

Primjer 4
1. Pretvorite 240°, 45°, 270°, 750° i 390° u radijane koristeći $\pi$.
Rješenje
Pomnožimo uglove sa $\frac(\pi)(180)$.
$240^(\circ) = 240 \puta \frac(\pi)(180) = \frac(4)(3)\pi=1\frac(1)(3)\pi$
$120^(\circ) = 120 \puta \frac(\pi)(180) = \frac(2\pi)(3)$
$270^(\circ) = 270 \puta \frac(1)(180)\pi = \frac(3)(2)\pi=1\frac(1)(2)\pi$
$750^(\circ) = 750 \puta \frac(1)(180)\pi = \frac(25)(6)\pi=4\frac(1)(6)\pi$
$390^(\circ) = 390 \puta \frac(1)(180)\pi = \frac(13)(6)\pi=2\frac(1)(6)\pi$

2. Pretvorite sljedeće uglove u stepeni.
a) $\frac(5)(4)\pi$
b) $3,12\pi$
c) 2,4 radijana
Rješenje
$180^(\circ) = \pi$
a) $\frac(5)(4) \pi = \frac(5)(4) \times 180 = 225^(\circ)$
b) $3,12\pi = 3,12 \puta 180 = 561,6^(\circ)$
c) 1 rad = 57,3°
$2,4 = \frac(2,4 \times 57,3)(1) = 137,52$

Negativni uglovi i uglovi veći od $2\pi$ radijana

Da pretvorimo negativan ugao u pozitivan, dodajemo ga u $2\pi$.
Da bismo pozitivan ugao pretvorili u negativan, od njega oduzimamo $2\pi$.

Primjer 5
1. Pretvorite $-\frac(3)(4)\pi$ i $-\frac(5)(7)\pi$ u pozitivne uglove u radijanima.

Rješenje
Dodajte $2\pi$ kutu
$-\frac(3)(4)\pi = -\frac(3)(4)\pi + 2\pi = \frac(5)(4)\pi = 1\frac(1)(4)\ pi$

$-\frac(5)(7)\pi = -\frac(5)(7)\pi + 2\pi = \frac(9)(7)\pi = 1\frac(2)(7)\ pi$

Kada se objekat rotira za ugao veći od $2\pi$;, pravi više od jednog kruga.
Da bismo odredili broj okretaja (krugova ili ciklusa) u takvom kutu, nalazimo broj, množeći ga sa $2\pi$, rezultat je jednak ili manji, ali što je bliže ovom broju.

Primjer 6
1. Pronađite broj krugova koje je objekt prošao pod datim uglovima
a) $-10\pi$
b) $9\pi$
c) $\frac(7)(2)\pi$

Rješenje
a) $-10\pi = 5(-2\pi)$;
$-2\pi$ podrazumijeva jedan ciklus u smjeru kazaljke na satu, to znači da
objekt je napravio 5 ciklusa u smjeru kazaljke na satu.

b) $9\pi = 4(2\pi) + \pi$, $\pi =$ poluciklus
objekt je napravio četiri i po ciklusa u smjeru suprotnom od kazaljke na satu

c) $\frac(7)(2)\pi=3.5\pi=2\pi+1.5\pi$, $1.5\pi$ je jednako tri četvrtine ciklusa $(\frac(1.5\pi)(2 \pi)= \frac(3)(4))$
objekt je prošao jednu i tri četvrtine ciklusa u smjeru suprotnom od kazaljke na satu