Важна концепция в тригонометрията е ъгъл на завъртане. По-долу ще дадем последователна представа за завоя и ще представим всички свързани понятия. Нека започнем с обща идея за завой, да речем пълно завъртане. След това нека да преминем към концепцията за ъгъл на въртене и да разгледаме основните му характеристики, като посоката и големината на въртене. Накрая даваме определението за въртене на фигура около точка. Ще предоставим цялата теория в текста с обяснителни примери и графични илюстрации.

Навигация в страницата.

Какво се нарича въртене на точка около точка?

Нека веднага да отбележим, че наред с израза „въртене около точка” ще използваме и фразите „въртене около точка” и „въртене около точка”, които означават едно и също нещо.

Нека се запознаем концепция за обръщане на точка около точка.

Първо, нека определим центъра на въртене.

Определение.

Точката, около която се извършва завъртането, се нарича център на въртене.

Сега да кажем какво се случва в резултат на въртене на точката.

В резултат на завъртане на определена точка A спрямо центъра на въртене O се получава точка A 1 (която в случай на определено число може да съвпадне с A), а точка A 1 лежи на окръжност с a център в точка O на радиус OA. С други думи, когато се завърти спрямо точка O, точка A отива към точка A 1, разположена върху окръжност с център в точка O с радиус OA.

Смята се, че точка О, когато се завърти около себе си, се превръща в себе си. Тоест, в резултат на въртене около центъра на въртене O, точка O се превръща в себе си.

Също така си струва да се отбележи, че въртенето на точка А около точка О трябва да се разглежда като изместване в резултат на движението на точка А в окръжност с център в точка О с радиус ОА.

За по-голяма яснота ще дадем илюстрация на въртенето на точка A около точка O; на фигурите по-долу ще покажем движението на точка A към точка A 1 с помощта на стрелка.

Пълен завой

Възможно е точка А да се завърти спрямо центъра на въртене О, така че точка А, след като е преминала всички точки на окръжността, да бъде на същото място. В този случай те казват, че точка А се е преместила около точка О.

Нека дадем графична илюстрация на пълна революция.

Ако не спрете на едно завъртане, а продължите да движите точката около кръга, тогава можете да извършите два, три и така нататък пълни завъртания. Чертежът по-долу показва как могат да се направят две пълни завъртания отдясно и три завъртания отляво.

Концепция за ъгъл на завъртане

От концепцията за въртене на точка, въведена в първия параграф, става ясно, че има безкраен брой опции за въртене на точка A около точка O. Всъщност всяка точка от окръжност с център в точка O с радиус OA може да се разглежда като точка A 1, получена в резултат на въртене на точка A. Ето защо, за да разграничим един завой от друг, въвеждаме понятието ъгъл на завъртане.

Една от характеристиките на ъгъла на завъртане е посока на въртене. Посоката на въртене определя дали точката се върти по или обратно на часовниковата стрелка.

Друга характеристика на ъгъла на завъртане е неговата величина. Ъглите на въртене се измерват в същите единици като: градусите и радианите са най-често срещаните. Тук си струва да се отбележи, че ъгълът на въртене може да бъде изразен в градуси с всяко реално число от минус безкрайност до плюс безкрайност, за разлика от ъгъла в геометрията, чиято стойност в градуси е положителна и не надвишава 180.

Малките букви от гръцката азбука обикновено се използват за обозначаване на ъгли на завъртане: и т.н. За обозначаване на голям брой ъгли на въртене често се използва една буква с индекси, например, .

Сега нека поговорим за характеристиките на ъгъла на въртене по-подробно и по ред.

Посока на завъртане

Нека точките А и А1 са маркирани върху окръжност с център в точка О. Можете да стигнете до точка A 1 от точка A, като завъртите около центъра O по посока на часовниковата стрелка или обратно на часовниковата стрелка. Логично е тези обрати да се разглеждат като различни.

Нека илюстрираме ротациите в положителна и отрицателна посока. Чертежът по-долу показва въртене в положителна посока отляво и в отрицателна посока отдясно.

Стойност на ъгъла на завъртане, ъгъл с произволна стойност

Ъгълът на въртене на точка, различна от центъра на въртене, се определя напълно чрез посочване на нейната величина; от друга страна, по големината на ъгъла на въртене може да се прецени как е извършено това въртене.

Както споменахме по-горе, ъгълът на завъртане в градуси се изразява като число от −∞ до +∞. В този случай знакът плюс съответства на въртене по посока на часовниковата стрелка, а знакът минус съответства на въртене обратно на часовниковата стрелка.

Сега остава да се установи съответствие между стойността на ъгъла на завъртане и завъртането, на което съответства.

Да започнем с ъгъл на въртене от нула градуса. Този ъгъл на завъртане съответства на движението на точка А към себе си. С други думи, когато се завърти на 0 градуса около точка O, точка A остава на мястото си.

Пристъпваме към въртенето на точка А около точка О, при което въртенето се извършва в рамките на половин оборот. Ще приемем, че точка А отива към точка А 1. В този случай абсолютната стойност на ъгъл AOA 1 в градуси не надвишава 180. Ако въртенето е настъпило в положителна посока, тогава стойността на ъгъла на въртене се счита за равна на стойността на ъгъла AOA 1, а ако въртенето е настъпило в отрицателна посока, тогава неговата стойност се счита за равна на стойността на ъгъла AOA 1 със знак минус. Като пример, ето снимка, показваща ъгли на въртене от 30, 180 и −150 градуса.

Ъглите на въртене, по-големи от 180 градуса и по-малки от −180 градуса, се определят въз основа на следните доста очевидни свойства на последователни завои: няколко последователни завъртания на точка А около центъра O са еквивалентни на едно завъртане, чиято големина е равна на сбора от величините на тези завъртания.

Нека дадем пример, илюстриращ това свойство. Нека завъртим точка А спрямо точка О с 45 градуса и след това завъртим тази точка с 60 градуса, след което завъртим тази точка с −35 градуса. Нека обозначим междинните точки по време на тези завои като A 1, A 2 и A 3. Можем да стигнем до същата точка A 3, като извършим едно завъртане на точка A под ъгъл 45+60+(−35)=70 градуса.

И така, ще представим ъгли на завъртане, по-големи от 180 градуса, като няколко последователни завъртания по ъгли, сборът от които дава стойността на първоначалния ъгъл на завъртане. Например, ъгъл на завъртане от 279 градуса съответства на последователни завъртания от 180 и 99 градуса, или 90, 90, 90 и 9 градуса, или 180, 180 и −81 градуса, или 279 последователни завъртания от 1 градус.

Ъглите на въртене, по-малки от −180 градуса, се определят по подобен начин. Например, ъгъл на завъртане от −520 градуса може да се интерпретира като последователни завъртания на точката с −180, −180 и −160 градуса.

Обобщете. Определихме ъгъла на завъртане, чиято стойност в градуси се изразява с някакво реално число от интервала от −∞ до +∞. В тригонометрията ще работим конкретно с ъгли на въртене, въпреки че думата „въртене“ често се пропуска и те просто казват „ъгъл“. Така в тригонометрията ще работим с ъгли с произволна величина, под които разбираме ъгли на въртене.

За да завършим тази точка, отбелязваме, че пълно завъртане в положителна посока съответства на ъгъл на завъртане от 360 градуса (или 2 π радиана), а в отрицателна посока - ъгъл на завъртане от −360 градуса (или −2 π rad) . В този случай е удобно да се представят големи ъгли на въртене като определен брой пълни обороти и друго завъртане под ъгъл в диапазона от -180 до 180 градуса. Например, нека вземем ъгъл на въртене от 1340 градуса. Лесно е да си представим 1340 като 360·4+(−100) . Тоест първоначалният ъгъл на завъртане съответства на 4 пълни завъртания в положителна посока и последващо завъртане от −100 градуса. Друг пример: ъгъл на въртене от −745 градуса може да се тълкува като две завъртания обратно на часовниковата стрелка, последвани от въртене от −25 градуса, тъй като −745=(−360) 2+(−25) .

Завъртете фигура около точка под ъгъл

Концепцията за ротация на точки лесно се разширява до завъртете всяка форма около точка под ъгъл(говорим за такова въртене, че и точката, около която се извършва въртенето, и фигурата, която се върти, лежат в една и съща равнина).

Под завъртане на фигура разбираме завъртането на всички точки от фигурата около дадена точка на даден ъгъл.

Като пример, нека илюстрираме следното действие: завъртете сегмент AB под ъгъл спрямо точка O; този сегмент, когато се завърти, ще се превърне в сегмент A 1 B 1.

Библиография.

• Алгебра:Учебник за 9 клас. ср. училище/Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Изд. С. А. Теляковски.- М.: Образование, 1990.- 272 с.: ил.- isbn 5-09-002727-7
• Башмаков М. И.Алгебра и началото на анализа: Учебник. за 10-11 клас. ср. училище - 3-то изд. - М.: Образование, 1993. - 351 с.: ил. - ISBN 5-09-004617-4.
• Алгебраи началото на анализа: Proc. за 10-11 клас. общо образование институции / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницин и др.; Изд. А. Н. Колмогоров - 14-то изд. - М.: Образование, 2004. - 384 с.: ил. - ISBN 5-09-013651-3.
• Гусев В. А., Мордкович А. Г.Математика (ръководство за постъпващите в технически училища): учеб. надбавка.- М.; По-висок училище, 1984.-351 с., ил.

Алфа означава реално число. Знакът за равенство в горните изрази показва, че ако добавите число или безкрайност към безкрайност, нищо няма да се промени, резултатът ще бъде същата безкрайност. Ако вземем за пример безкрайния набор от естествени числа, тогава разглежданите примери могат да бъдат представени в следната форма:

За да докажат ясно, че са прави, математиците измислиха много различни методи. Лично аз гледам на всички тези методи като на шамани, танцуващи с тамбури. По същество всички те се свеждат до факта, че или някои от стаите са празни и се настаняват нови гости, или част от посетителите са изхвърлени в коридора, за да направят място за гости (много човешки). Представих моето виждане за подобни решения под формата на фантастична история за Блондинката. На какво се основават разсъжденията ми? Преместването на безкраен брой посетители отнема безкрайно много време. След като освободим първата стая за гост, един от посетителите винаги ще върви по коридора от стаята си до следващата до края на времето. Разбира се, факторът време може да бъде глупаво игнориран, но това ще бъде в категорията „никой закон не е писан за глупаци“. Всичко зависи от това какво правим: приспособяваме реалността към математическите теории или обратното.

Какво е „безкраен хотел“? Безкраен хотел е хотел, който винаги има произволен брой празни легла, независимо колко стаи са заети. Ако всички стаи в безкрайния коридор за "посетители" са заети, има още един безкраен коридор със стаи за "гости". Ще има безкрайно много такива коридори. Освен това „безкрайният хотел“ има безкраен брой етажи в безкраен брой сгради на безкраен брой планети в безкраен брой вселени, създадени от безкраен брой богове. Математиците не могат да се дистанцират от баналните битови проблеми: винаги има само един Бог-Аллах-Буда, има само един хотел, има само един коридор. И така, математиците се опитват да жонглират с поредните номера на хотелските стаи, убеждавайки ни, че е възможно да „вкараме невъзможното“.

Ще ви демонстрирам логиката на разсъжденията си на примера на безкраен набор от естествени числа. Първо трябва да отговорите на един много прост въпрос: колко набора от естествени числа има - един или много? Няма правилен отговор на този въпрос, тъй като сами сме измислили числата; числата не съществуват в природата. Да, природата е страхотна в броенето, но за това тя използва други математически инструменти, които не са ни познати. Друг път ще ви кажа какво мисли Природата. Тъй като сме измислили числата, ние сами ще решим колко набора от естествени числа има. Нека разгледаме и двата варианта, както подобава на истинските учени.

Вариант едно. „Нека ни бъде даден“ един единствен набор от естествени числа, който лежи спокойно на рафта. Взимаме този комплект от рафта. Това е, други естествени числа не останаха на рафта и няма къде да ги вземете. Не можем да добавим такъв към този набор, тъй като вече го имаме. Ами ако наистина искате? Няма проблем. Можем да вземем един от вече взетия комплект и да го върнем на рафта. След това можем да вземем един от рафта и да го добавим към това, което ни е останало. В резултат на това отново ще получим безкраен набор от естествени числа. Можете да запишете всички наши манипулации така:

Записах действията в алгебрична нотация и в нотация на теория на множествата, с подробен списък на елементите на множеството. Долният индекс показва, че имаме един и единствен набор от естествени числа. Оказва се, че множеството от естествени числа ще остане непроменено само ако от него се извади едно и се добави същата единица.

Вариант две. Имаме много различни безкрайни набори от естествени числа на нашия рафт. Подчертавам - РАЗЛИЧНИ, въпреки факта, че практически не се различават. Нека вземем един от тези комплекти. След това вземаме едно от друго множество естествени числа и го добавяме към множеството, което вече сме взели. Можем дори да съберем две групи естествени числа. Ето какво получаваме:

Долните индекси "едно" и "две" показват, че тези елементи принадлежат към различни множества. Да, ако добавите един към безкраен набор, резултатът също ще бъде безкраен набор, но няма да бъде същият като оригиналния набор. Ако добавите друго безкрайно множество към едно безкрайно множество, резултатът е ново безкрайно множество, състоящо се от елементите на първите две множества.

Наборът от естествени числа се използва за броене по същия начин, както линийката се използва за измерване. Сега си представете, че сте добавили един сантиметър към линийката. Това ще бъде различна линия, неравна на оригиналната.

Можете да приемете или да не приемете разсъжденията ми - това е ваша работа. Но ако някога се сблъскате с математически проблеми, помислете дали не следвате пътя на фалшивите разсъждения, утъпкан от поколения математици. В края на краищата, изучаването на математика, на първо място, формира у нас стабилен стереотип на мислене и едва след това добавя към нашите умствени способности (или, обратно, ни лишава от свободомислие).

Неделя, 4 август 2019 г

Завършвах послепис към статия за и видях този прекрасен текст в Уикипедия:

Четем: „... богатата теоретична основа на математиката на Вавилон нямаше холистичен характер и беше сведена до набор от различни техники, лишени от обща система и доказателствена база.“

Еха! Колко сме умни и колко добре виждаме недостатъците на другите. Трудно ли ни е да разглеждаме съвременната математика в същия контекст? Перифразирайки леко горния текст, аз лично получих следното:

Богатата теоретична база на съвременната математика не е холистична по природа и се свежда до набор от различни раздели, лишени от обща система и база от доказателства.

Няма да отивам далеч, за да потвърдя думите си - има език и конвенции, които са различни от езика и конвенциите на много други клонове на математиката. Едни и същи имена в различните клонове на математиката могат да имат различно значение. Искам да посветя цяла поредица от публикации на най-очевидните грешки на съвременната математика. Ще се видим скоро.

Събота, 3 август 2019 г

Как да разделим набор на подмножества? За да направите това, трябва да въведете нова мерна единица, която присъства в някои от елементите на избрания набор. Нека разгледаме един пример.

Нека имаме много Асъстоящ се от четирима души. Това множество се формира на базата на „хора”. Нека обозначим елементите на това множество с буквата А, индексът с число ще показва поредния номер на всяко лице в този набор. Нека въведем нова мерна единица "пол" и да я обозначим с буквата b. Тъй като сексуалните характеристики са присъщи на всички хора, ние умножаваме всеки елемент от набора Авъз основа на пола b. Забележете, че нашият набор от „хора“ сега се превърна в набор от „хора с полови характеристики“. След това можем да разделим половите белези на мъжки bmи дамски bwполови белези. Сега можем да приложим математически филтър: избираме един от тези сексуални белези, без значение кой - мъжки или женски. Ако човек го има, тогава го умножаваме по едно, ако няма такъв знак, го умножаваме по нула. И тогава използваме обикновена училищна математика. Вижте какво стана.

След умножение, редукция и пренареждане получихме две подмножества: подмножеството на мъжете Bmи подгрупа от жени Bw. Математиците разсъждават приблизително по същия начин, когато прилагат теорията на множествата на практика. Но те не ни казват подробностите, а ни дават крайния резултат - „много хора се състоят от подгрупа от мъже и подгрупа от жени“. Естествено, може да имате въпрос: колко правилно е приложена математиката в трансформациите, описани по-горе? Смея да ви уверя, че по същество всичко беше направено правилно, достатъчно е да познавате математическите основи на аритметиката, булевата алгебра и други клонове на математиката. Какво е? Някой друг път ще ви разкажа за това.

Що се отнася до суперсетите, можете да комбинирате два комплекта в един суперсет, като изберете мерната единица, присъстваща в елементите на тези два комплекта.

Както можете да видите, мерните единици и обикновената математика правят теорията на множествата реликва от миналото. Знак, че не всичко е наред с теорията на множествата е, че математиците са измислили свой собствен език и нотация за теорията на множествата. Математиците действаха като шаманите някога. Само шаманите знаят как да прилагат „правилно“ своите „знания“. Те ни учат на това „знание“.

В заключение искам да ви покажа как математиците манипулират.

Понеделник, 7 януари 2019 г

През пети век пр. н. е. древногръцкият философ Зенон от Елея формулира своите известни апории, най-известната от които е апорията „Ахил и костенурката“. Ето как звучи:

Да кажем, че Ахил тича десет пъти по-бързо от костенурката и е на хиляда стъпки зад нея. През времето, необходимо на Ахил да измине това разстояние, костенурката ще пропълзи стотина стъпки в същата посока. Когато Ахил пробяга сто крачки, костенурката пълзи още десет крачки и т.н. Процесът ще продължи безкрайно, Ахил никога няма да настигне костенурката.

Това разсъждение се превърна в логичен шок за всички следващи поколения. Аристотел, Диоген, Кант, Хегел, Хилберт... Всички те разглеждат апориите на Зенон по един или друг начин. Шокът беше толкова силен, че " ... дискусиите продължават и до днес; научната общност все още не е успяла да стигне до общо мнение относно същността на парадоксите ... математическият анализ, теорията на множествата, нови физически и философски подходи бяха включени в изследването на въпроса ; нито едно от тях не стана общоприето решение на проблема...„[Уикипедия, „Апория на Зенон“. Всички разбират, че се заблуждават, но никой не разбира в какво се състои измамата.

От математическа гледна точка Зенон в своята апория ясно демонстрира прехода от количество към . Този преход предполага прилагане вместо постоянни. Доколкото разбирам, математическият апарат за използване на променливи мерни единици или все още не е разработен, или не е приложен към апориите на Зенон. Прилагането на нашата обичайна логика ни води в капан. Ние, поради инерцията на мисленето, прилагаме постоянни единици време към реципрочната стойност. От физическа гледна точка това изглежда като забавяне на времето, докато спре напълно в момента, в който Ахил настигне костенурката. Ако времето спре, Ахил вече не може да надбяга костенурката.

Ако обърнем обичайната си логика, всичко си идва на мястото. Ахил тича с постоянна скорост. Всеки следващ сегмент от пътя му е десет пъти по-кратък от предишния. Съответно времето, прекарано за преодоляването му, е десет пъти по-малко от предишното. Ако приложим концепцията за „безкрайност“ в тази ситуация, тогава би било правилно да кажем „Ахил ще настигне костенурката безкрайно бързо“.

Как да избегнем този логически капан? Останете в постоянни единици за време и не преминавайте към реципрочни единици. На езика на Зенон това изглежда така:

За времето, необходимо на Ахил да направи хиляда крачки, костенурката ще пропълзи стотина крачки в същата посока. През следващия интервал от време, равен на първия, Ахил ще направи още хиляда стъпки, а костенурката ще пропълзи сто стъпки. Сега Ахил е на осемстотин стъпки пред костенурката.

Този подход описва адекватно реалността без никакви логически парадокси. Но това не е пълно решение на проблема. Твърдението на Айнщайн за неустоимостта на скоростта на светлината е много подобно на апорията на Зенон „Ахил и костенурката“. Все още трябва да изучаваме, преосмисляме и решаваме този проблем. И решението трябва да се търси не в безкрайно големи числа, а в мерни единици.

Друга интересна апория на Зенон разказва за летяща стрела:

Летящата стрела е неподвижна, тъй като във всеки момент от времето тя е в покой, и тъй като е в покой във всеки момент от времето, тя винаги е в покой.

В тази апория логическият парадокс се преодолява много просто – достатъчно е да се изясни, че във всеки един момент една летяща стрела е в покой в ​​различни точки на пространството, което всъщност е движение. Тук трябва да се отбележи още един момент. От една снимка на автомобил на пътя е невъзможно да се определи нито фактът на неговото движение, нито разстоянието до него. За да определите дали колата се движи, ви трябват две снимки, направени от една и съща точка в различни точки във времето, но не можете да определите разстоянието от тях. За да определите разстоянието до кола, имате нужда от две снимки, направени от различни точки в пространството в един момент във времето, но от тях не можете да определите факта на движение (разбира се, все още имате нужда от допълнителни данни за изчисления, тригонометрията ще ви помогне ). Това, на което искам да обърна специално внимание е, че две точки във времето и две точки в пространството са различни неща, които не бива да се бъркат, защото дават различни възможности за изследване.

Сряда, 4 юли 2018 г

Вече ви казах, че с помощта на които шаманите се опитват да сортират „“ реалността. Как правят това? Как всъщност става образуването на набор?

Нека разгледаме по-подробно определението за набор: „колекция от различни елементи, замислени като едно цяло“. Сега усетете разликата между две фрази: „мислимо като цяло“ и „мислимо като цяло“. Първата фраза е крайният резултат, наборът. Втората фраза е предварителна подготовка за формирането на множество. На този етап реалността се разделя на отделни елементи („цялото“), от които след това ще се образува множество („единното цяло“). В същото време факторът, който позволява да се комбинира „цялото“ в „единно цяло“, се следи внимателно, в противен случай шаманите няма да успеят. В края на краищата шаманите знаят предварително точно какъв комплект искат да ни покажат.

Ще ви покажа процеса с пример. Избираме „червеното твърдо вещество в пъпка“ - това е нашето „цяло“. В същото време виждаме, че тези неща са с лък, а има и без лък. След това избираме част от „цялото“ и оформяме комплект „с лък“. Ето как шаманите получават храната си, като обвързват теорията си с реалността.

Сега нека направим малък трик. Нека вземем „твърдо с пъпка с лък“ и комбинираме тези „цели“ според цвета, избирайки червените елементи. Имаме много "червени". Сега последният въпрос: получените комплекти „с лък“ и „червено“ един и същ комплект ли са или два различни комплекта? Само шаманите знаят отговора. По-точно те самите не знаят нищо, но както казват, така ще бъде.

Този прост пример показва, че теорията на множествата е напълно безполезна, когато става въпрос за реалността. каква е тайната Оформихме набор от "червено плътно с пъпка и лък." Оформянето се извършва в четири различни мерни единици: цвят (червено), здравина (твърдо), грапавост (пъпчиво), украса (с лък). Само набор от мерни единици ни позволява да опишем адекватно реални обекти на езика на математиката. Ето как изглежда.

Буквата "а" с различни индекси означава различни мерни единици. Мерните единици, чрез които се разграничава „цялото“ на предварителния етап, са отбелязани в скоби. Извън скоби е извадена мерната единица, с която се формира наборът. Последният ред показва крайния резултат - елемент от множеството. Както можете да видите, ако използваме мерни единици, за да образуваме набор, тогава резултатът не зависи от реда на нашите действия. И това е математика, а не танците на шамани с тамбури. Шаманите могат „интуитивно“ да стигнат до същия резултат, като твърдят, че той е „очевиден“, тъй като мерните единици не са част от техния „научен“ арсенал.

Използвайки мерни единици, е много лесно да разделите един комплект или да комбинирате няколко комплекта в един супермножество. Нека разгледаме по-подробно алгебрата на този процес.

Събота, 30 юни 2018 г

Ако математиците не могат да сведат едно понятие до други понятия, тогава те не разбират нищо от математиката. Отговарям: по какво се различават елементите на едно множество от елементите на друго множество? Отговорът е много прост: числа и мерни единици.

Днес всичко, което не вземем, принадлежи към някакво множество (както ни уверяват математиците). Между другото, видяхте ли в огледалото на челото си списък с тези набори, към които принадлежите? И аз не съм виждал такъв списък. Ще кажа повече - нито едно нещо в действителност няма етикет със списък на наборите, към които принадлежи това нещо. Комплектите са всички изобретения на шаманите. Как го правят? Нека погледнем малко по-дълбоко в историята и да видим как са изглеждали елементите на набора, преди шаманите математици да ги вземат в своите набори.

Преди много време, когато никой не беше чувал за математика и само дърветата и Сатурн имаха пръстени, огромни стада от диви елементи от множества бродеха из физическите полета (в края на краищата шаманите все още не бяха измислили математическите полета). Изглеждаха нещо подобно.

Да, не се изненадвайте, от гледна точка на математиката, всички елементи на комплектите са най-подобни на морски таралежи - от една точка, като игли, мерните единици стърчат във всички посоки. За тези, които, ви напомням, че всяка мерна единица може да бъде геометрично представена като отсечка с произволна дължина, а число като точка. Геометрично всяко количество може да бъде представено като куп сегменти, стърчащи в различни посоки от една точка. Тази точка е точка нула. Няма да рисувам това произведение на геометричното изкуство (няма вдъхновение), но лесно можете да си го представите.

Какви мерни единици образуват елемент от набор? Всякакви неща, които описват даден елемент от различни гледни точки. Това са древни мерни единици, които нашите предци са използвали и за които всички отдавна са забравили. Това са съвременните мерни единици, които използваме сега. Това също са непознати за нас мерни единици, които нашите потомци ще измислят и с които ще опишат реалността.

Подредихме геометрията - предложеният модел на елементите на комплекта има ясно геометрично представяне. Ами физиката? Мерните единици са пряката връзка между математиката и физиката. Ако шаманите не признават мерните единици като пълноценен елемент от математическите теории, това е техен проблем. Аз лично не мога да си представя истинската наука математика без мерни единици. Ето защо в самото начало на разказа за теорията на множествата казах, че тя е в каменната ера.

Но да преминем към най-интересното - алгебрата на елементите на множествата. Алгебрично всеки елемент от едно множество е произведение (резултат от умножение) на различни количества.Това изглежда така.

Съзнателно не използвах конвенциите на теорията на множествата, тъй като разглеждаме елемент от множество в естествената му среда преди появата на теорията на множествата. Всяка двойка букви в скоби означава отделно количество, състоящо се от число, обозначено с буквата " н" и мерната единица, обозначена с буквата " а". Индексите до буквите показват, че числата и мерните единици са различни. Един елемент от набора може да се състои от безкраен брой количества (колко ние и нашите потомци имаме достатъчно въображение). Всяка скоба е геометрично изобразена като отделен сегмент В примера с морския таралеж една скоба е една игла.

Как шаманите формират комплекти от различни елементи? Всъщност по мерни единици или по числа. Без да разбират нищо от математика, те вземат различни морски таралежи и внимателно ги разглеждат в търсене на онази единствена игла, покрай която образуват набор. Ако има такава игла, то този елемент принадлежи на множеството; ако няма такава игла, то този елемент не е от това множество. Шаманите ни разказват басни за мисловните процеси и всичко останало.

Както може би се досещате, един и същи елемент може да принадлежи към много различни множества. След това ще ви покажа как се формират набори, подмножества и други шамански глупости. Както можете да видите, "не може да има два еднакви елемента в набор", но ако има идентични елементи в набор, такъв набор се нарича "мултисет". Разумните същества никога няма да разберат такава абсурдна логика. Това е нивото на говорещите папагали и дресираните маймуни, които нямат интелигентност от думата „напълно“. Математиците действат като обикновени обучители, проповядвайки ни своите абсурдни идеи.

Имало едно време инженерите, които построили моста, били в лодка под моста, докато тествали моста. Ако мостът се срути, посредственият инженер загина под развалините на своето творение. Ако мостът можеше да издържи натоварването, талантливият инженер построи други мостове.

Колкото и да се крият математиците зад фразата „имайте предвид, аз съм в къщата“ или по-скоро „математиката изучава абстрактни понятия“, има една пъпна връв, която ги свързва неразривно с реалността. Тази пъпна връв е пари. Нека приложим математическата теория на множествата към самите математици.

Учихме много добре математика и сега седим на касата и даваме заплати. И така, един математик идва при нас за парите си. Ние му преброяваме цялата сума и я поставяме на масата си в различни купчини, в които поставяме банкноти от една и съща деноминация. След това вземаме по една банкнота от всяка купчина и даваме на математика неговия „математически набор от заплата“. Нека обясним на математика, че той ще получи останалите сметки едва когато докаже, че множество без еднакви елементи не е равно на множество с еднакви елементи. Тук започва забавлението.

На първо място ще работи логиката на депутатите: „Това може да се приложи към другите, но не и към мен!“ След това ще започнат да ни уверяват, че банкнотите с една и съща номинална стойност имат различни номера на банкнотите, което означава, че не могат да се считат за едни и същи елементи. Добре, да броим заплатите в монети - на монетите няма цифри. Тук математикът ще започне трескаво да си спомня физиката: различните монети имат различно количество мръсотия, кристалната структура и разположението на атомите е уникално за всяка монета...

И сега имам най-интересния въпрос: къде е линията, отвъд която елементите на мултимножество се превръщат в елементи на множество и обратно? Такава линия не съществува - всичко се решава от шаманите, тук науката дори не лъже.

Вижте тук. Избираме футболни стадиони с еднаква площ. Площите на полетата са еднакви - което означава, че имаме мултимножество. Но ако погледнем имената на същите тези стадиони, получаваме много, защото имената са различни. Както можете да видите, едно и също множество от елементи е едновременно множество и мултимножество. Кое е вярно? И ето че математикът-шаман-шарпист вади асо коз от ръкава си и започва да ни говори или за множество, или за мултимножество. При всички случаи той ще ни убеди, че е прав.

За да разберем как съвременните шамани оперират с теорията на множествата, обвързвайки я с реалността, е достатъчно да отговорим на един въпрос: как елементите на едно множество се различават от елементите на друго множество? Ще ви покажа, без никакво „мислимо като неединно цяло“ или „немислимо като единно цяло“.

В последния урок успешно усвоихме (или повторихме, зависи кой) ключовите понятия от цялата тригонометрия. Това тригонометричен кръг , ъгъл върху окръжност , синус и косинус на този ъгъл , а също и усвоени признаци на тригонометрични функции по четвъртинки . Усвоихме го в детайли. На пръсти, може да се каже.

Но това още не е достатъчно. За да приложим успешно всички тези прости концепции на практика, се нуждаем от още едно полезно умение. А именно – правилно работа с ъгли в тригонометрията. Без това умение в тригонометрията няма начин. Дори в най-примитивните примери. Защо? Да, защото ъгълът е ключовата работна фигура в цялата тригонометрия! Не, не тригонометрични функции, не синус и косинус, не тангенс и котангенс, а именно самият ъгъл. Без ъгъл означава без тригонометрични функции, да...

Как се работи с ъгли на окръжност? За да направим това, трябва да хванем здраво две точки.

1) какИзмерват ли се ъгли върху окръжност?

2) Каквоброят ли се (измерват)?

Отговорът на първия въпрос е темата на днешния урок. С първия въпрос ще се занимаем подробно точно тук и сега. Тук няма да дам отговор на втория въпрос. Защото е доста развит. Точно както самият втори въпрос е много хлъзгав, да.) Все още няма да навлизам в подробности. Това е темата на следващия отделен урок.

Да започваме ли?

Как се измерват ъглите върху окръжност? Положителни и отрицателни ъгли.

На тези, които четат заглавието на параграфа, може вече да им настръхват косите. Как така?! Отрицателни ъгли? Възможно ли е изобщо това?

До отрицателна числаВече свикнахме. Можем да ги изобразим на числовата ос: вдясно от нулата са положителни, вляво от нулата са отрицателни. Да, и периодично поглеждаме термометъра извън прозореца. Особено през зимата, в студа.) И парите на телефона са в минус (т.е. задължение) понякога си тръгват. Всичко това е познато.

Ами ъглите? Оказва се, че отрицателните ъгли в математиката има и такива!Всичко зависи от това как се измерва точно този ъгъл... не, не на числовата права, а на числовата окръжност! Тоест на кръг. Окръжността - ето я, аналог на числовата права в тригонометрията!

Така, Как се измерват ъглите върху окръжност?Нищо не можем да направим, първо ще трябва да начертаем този кръг.

Ще нарисувам тази красива картина:

Много прилича на снимките от миналия урок. Има оси, има кръг, има ъгъл. Но има и нова информация.

Добавих и числа 0°, 90°, 180°, 270° и 360° по осите. Това вече е по-интересно.) Що за числа са тези? вярно! Това са стойностите на ъглите, измерени от нашата фиксирана страна, която пада към координатните оси.Спомняме си, че фиксираната страна на ъгъла винаги е тясно свързана с положителната полуос OX. И всеки ъгъл в тригонометрията се измерва точно от тази полуос. Тази основна отправна точка за ъглите трябва твърдо да се помни. А осите – пресичат се под прав ъгъл, нали? Така че добавяме 90° във всяка четвърт.

И още добавени червена стрелка. С плюс. Червеното е нарочно, за да грабва окото. И ми се запечата добре в паметта. Защото това трябва да се помни надеждно.) Какво означава тази стрелка?

Така се оказва, че ако изкривим нашия ъгъл по стрелката с плюс(обратно на часовниковата стрелка, според номерацията на четвъртините), след това ъгъла ще се считат за положителни!Като пример фигурата показва ъгъл от +45°. Между другото, имайте предвид, че аксиалните ъгли 0°, 90°, 180°, 270° и 360° също се пренавиват в положителната посока! Следвайте червената стрелка.

Сега нека да разгледаме друга снимка:

Тук почти всичко е същото. Само ъглите на осите са номерирани обърнат.По часовниковата стрелка. И имат знак минус.) Все още е нарисувано синя стрелка. Също с минус. Тази стрелка е посоката на отрицателните ъгли на окръжността. Тя ни показва, че ако отложим нашия ъгъл по часовниковата стрелка, Че ъгълът ще се счита за отрицателен.Например, показах ъгъл -45°.

Между другото, имайте предвид, че номерацията на кварталите никога не се променя! Няма значение дали преместваме ъглите на плюс или минус. Винаги строго обратно на часовниковата стрелка.)

Помня:

1. Началната точка за ъгли е от положителната полуос OX. По часовник - "минус", срещу часовник - "плюс".

2. Номерирането на четвъртините е винаги обратно на часовниковата стрелка, независимо от посоката, в която се изчисляват ъглите.

Между другото, етикетирането на ъгли по осите 0 °, 90 °, 180 °, 270 °, 360 °, всеки път, когато рисувате кръг, изобщо не е задължително. Това се прави само с цел разбиране на смисъла. Но тези числа трябва да присъстват в главата типри решаване на всяка тригонометрична задача. Защо? Да, защото това основно знание дава отговори на толкова много други въпроси в цялата тригонометрия! Най-важният въпрос е В коя четвърт попада ъгълът, който ни интересува? Вярвате или не, правилният отговор на този въпрос решава лъвския пай от всички останали проблеми с тригонометрията. Ще се справим с тази важна задача (разпределяне на ъгли на четвърти) в същия урок, но малко по-късно.

Стойностите на ъглите, лежащи върху координатните оси (0°, 90°, 180°, 270° и 360°) трябва да се запомнят! Запомнете го здраво, докато стане автоматично. И както плюс, така и минус.

Но от този момент започват първите изненади. А заедно с тях и трудни въпроси, отправени към мен, да...) Какво се случва, ако върху окръжност има отрицателен ъгъл съвпада с положителното?Оказва се, че същата точкавърху окръжност може да се обозначи както с положителен, така и с отрицателен ъгъл???

Абсолютно прав! Това е вярно.) Например положителен ъгъл от +270° заема кръг същата ситуация , същото като отрицателен ъгъл от -90°. Или, например, ще заеме положителен ъгъл от +45° върху кръг същата ситуация , същото като отрицателния ъгъл -315°.

Гледаме следващия чертеж и виждаме всичко:

По същия начин положителен ъгъл от +150° ще падне на същото място като отрицателен ъгъл от -210°, положителен ъгъл от +230° ще падне на същото място като отрицателен ъгъл от -130°. И така нататък…

И сега какво мога да направя? Как точно да броим ъглите, ако можете да го направите така и така? Кое е вярно?

Отговор: във всяко отношение правилно!Математиката не забранява нито една от двете посоки за броене на ъгли. И изборът на конкретна посока зависи единствено от задачата. Ако заданието не казва нищо в обикновен текст за знака на ъгъла (като напр "определете най-големия отрицателенъгъл"и т.н.), тогава работим с ъглите, които са най-удобни за нас.

Разбира се, например, в такива готини теми като тригонометрични уравнения и неравенства, посоката на изчисляване на ъгъла може да има огромно влияние върху отговора. И в съответните теми ще разгледаме тези подводни камъни.

Помня:

Всяка точка от окръжност може да бъде обозначена с положителен или отрицателен ъгъл. всеки! Каквото искаме.

Сега нека помислим за това. Открихме, че ъгъл от 45° е точно същият като ъгъл от -315°? Как разбрах за същите тези 315° ? Не можете ли да познаете? да Чрез пълно завъртане.) На 360°. Имаме ъгъл от 45°. Колко време отнема пълно завъртане? Извадете 45° от 360° - така че получаваме 315° . Преместете се в отрицателна посока и ще получим ъгъл от -315°. Все още не е ясно? След това отново погледнете горната снимка.

И това винаги трябва да се прави, когато преобразувате положителни ъгли в отрицателни (и обратно) - начертайте кръг, маркирайте приблизителнодаден ъгъл, ние изчисляваме колко градуса липсват за извършване на пълен оборот и преместваме получената разлика в обратната посока. Това е всичко.)

Какво друго е интересно за ъглите, които заемат една и съща позиция в окръжност, според вас? И фактът, че на такива ъгли точно същото синус, косинус, тангенс и котангенс! Винаги!

Например:

Sin45° = sin(-315°)

Cos120° = cos(-240°)

Tg249° = tg(-111°)

Ctg333° = ctg(-27°)

Но това е изключително важно! За какво? Да, всички за едно и също нещо!) За опростяване на изразите. Тъй като опростяването на изрази е ключова процедура за успешно решение всякаквизадачи по математика. И в тригонометрията също.

И така, разбрахме общото правило за броене на ъгли в окръжност. Е, ако започнахме да говорим за пълни обороти, за четвърт обороти, тогава е време да завъртим и начертаем тези ъгли. Ще рисуваме ли?)

Да започнем с положителенъгли Те ще бъдат по-лесни за рисуване.

Чертаем ъгли в рамките на един оборот (между 0° и 360°).

Нека начертаем например ъгъл от 60°. Тук всичко е просто, без проблеми. Начертаваме координатни оси и кръг. Можете да го направите директно на ръка, без компас или линийка. Да рисуваме схематично: Ние не рисуваме с вас. Не е необходимо да спазвате GOST, няма да бъдете наказани.)

Можете (за себе си) да маркирате стойностите на ъглите върху осите и да насочите стрелката в посоката срещу часовника.В крайна сметка ще спестим като плюс?) Не е нужно да правите това, но трябва да запазите всичко в главата си.

И сега рисуваме втората (подвижна) страна на ъгъла. В кой квартал? В първия, разбира се! Тъй като 60 градуса е строго между 0° и 90°. Така че имаме равенство през първата четвърт. Под ъгъл приблизително 60 градуса към фиксираната страна. Как да броим приблизително 60 градуса без транспортир? Лесно! 60° е две трети от прав ъгъл!Ние мислено разделяме първия дявол на кръга на три части, като вземаме две трети за себе си. И рисуваме... Колко всъщност стигаме (ако прикачите транспортир и измерите) - 55 градуса или 64 - няма значение! Важното е, че все още е някъде около 60°.

Получаваме картината:

Това е всичко. И не бяха необходими инструменти. Да развием окото си! Ще ви бъде полезен при проблеми с геометрията.) Тази неестетична рисунка е незаменима, когато трябва бързо да надраскате кръг и ъгъл, без да мислите за красотата. Но в същото време драска вярно, без грешки, с цялата необходима информация. Например като помощ при решаването на тригонометрични уравнения и неравенства.

Нека сега начертаем ъгъл, например 265°. Нека да разберем къде може да се намира? Е, ясно е, че не през първата четвърт и дори не през втората: те завършват на 90 и 180 градуса. Можете да разберете, че 265° е 180° плюс още 85°. Тоест към отрицателната полуос OX (където 180°) трябва да добавите приблизително 85°. Или още по-просто, познайте, че 265° не достига отрицателната полуос OY (където е 270°) някакви нещастни 5°. Накратко, през третото тримесечие ще има този ъгъл. Много близо до отрицателната полуос OY, до 270 градуса, но все пак в третата!

Да нарисуваме:

Тук отново не се изисква абсолютна точност. Нека в действителност този ъгъл се окаже, да речем, 263 градуса. Но на най-важния въпрос (какво тримесечие?)отговорихме правилно. Защо това е най-важният въпрос? Да, защото всяка работа с ъгъл в тригонометрията (няма значение дали ще начертаем този ъгъл или не) започва с отговора на точно този въпрос! Винаги. Ако пренебрегнете този въпрос или се опитате да му отговорите мислено, тогава грешките са почти неизбежни, да... Имате ли нужда от това?

Помня:

Всяка работа с ъгъл (включително чертането на този ъгъл върху окръжност) винаги започва с определяне на четвъртината, в която попада този ъгъл.

Сега се надявам, че можете точно да изобразите ъгли, например 182°, 88°, 280°. IN правилночетвъртинки. В третия, първия и четвъртия, ако това...)

Четвъртата четвърт завършва с ъгъл 360°. Това е една пълна революция. Ясно е, че този ъгъл заема същата позиция върху окръжността като 0° (т.е. началото). Но ъглите не свършват дотук, да...

Какво да правим с ъгли, по-големи от 360°?

„Има ли наистина такива неща?“- ти питаш. Случват се! Има например ъгъл от 444°. И понякога, да речем, ъгъл от 1000°. Има всякакви ъгли.) Просто визуално такива екзотични ъгли се възприемат малко по-трудно от ъглите, с които сме свикнали в рамките на едно завъртане. Но също така трябва да можете да чертаете и изчислявате такива ъгли, да.

За да начертаете правилно такива ъгли върху кръг, трябва да направите същото - разберете В коя четвърт попада ъгълът, който ни интересува? Тук възможността за точно определяне на четвъртината е много по-важна, отколкото за ъгли от 0° до 360°! Самата процедура по определяне на тримесечието е усложнена само с една стъпка. Ще видите скоро какво е.

Така че, например, трябва да разберем в кой квадрант попада ъгълът от 444°. Да започнем да въртим. Където? Плюс, разбира се! Дадоха ни положителен ъгъл! +444°. Усукаме, усукаме... Усукахме го един оборот - стигнахме до 360°.

Колко време остава до 444°?Преброяваме останалата опашка:

444°-360° = 84°.

И така, 444° е едно пълно завъртане (360°) плюс още 84°. Очевидно това е първото тримесечие. И така, ъгълът 444° пада през първото тримесечие.Половината битка е свършена.

Сега остава само да изобразим този ъгъл. как? Много просто! Правим едно пълно завъртане по червената (плюс) стрелка и добавяме още 84°.

Като този:

Тук не си направих труда да претрупвам чертежа - етикетиране на четвъртините, чертане на ъгли по осите. Всички тези хубави неща трябваше да са в главата ми отдавна.)

Но използвах „охлюв“ или спирала, за да покажа как точно се формира ъгъл от 444° от ъгли от 360° и 84°. Пунктираната червена линия е един пълен оборот. Към които допълнително се завинтват 84° (плътна линия). Между другото, имайте предвид, че ако тази пълна революция бъде изхвърлена, това няма да повлияе на позицията на нашия ъгъл по никакъв начин!

Но това е важно! Ъглова позиция 444° напълно съвпадас ъглова позиция 84°. Няма чудеса, така се оказва.)

Възможно ли е да изхвърлите не една пълна революция, а две или повече?

Защо не? Ако ъгълът е голям, тогава е не само възможно, но дори необходимо! Ъгълът няма да се промени! По-точно, самият ъгъл, разбира се, ще се промени по големина. Но позицията му в кръга е абсолютно не!) Ето защо те пъленобороти, че колкото и копия да добавите, колкото и да извадите, пак ще стигнете до същата точка. Хубаво, нали?

Помня:

Ако добавите (извадите) произволен ъгъл към ъгъл цялоброя на пълните обороти, позицията на оригиналния ъгъл върху кръга НЯМА да се промени!

Например:

В коя четвърт попада ъгълът от 1000°?

Няма проблем! Ние броим колко пълни оборота се намират в хиляда градуса. Един оборот е 360°, друг вече е 720°, трети е 1080°... Спри! Твърде много! Това означава, че седи под ъгъл от 1000° двепълни обороти. Изхвърляме ги от 1000° и изчисляваме остатъка:

1000° - 2 360° = 280°

И така, позицията на ъгъла е 1000° върху окръжността същото, като под ъгъл 280°. Което е много по-приятно за работа.) И къде пада този ъгъл? Попада в четвъртата четвърт: 270° (отрицателна полуос OY) плюс още десет.

Да нарисуваме:

Тук вече не нарисувах две пълни завъртания с пунктирана спирала: оказва се твърде дълго. Току-що нарисувах останалата опашка от нулата, изхвърляне всичкодопълнителни завои. Сякаш изобщо не са съществували.)

Още веднъж. В добрия смисъл ъглите 444° и 84°, както и 1000° и 280° са различни. Но за синус, косинус, тангенс и котангенс тези ъгли са - същото!

Както можете да видите, за да работите с ъгли, по-големи от 360°, трябва да определите колко пълни оборота има в даден голям ъгъл. Това е много допълнителната стъпка, която трябва да се направи първа при работа с такива ъгли. Нищо сложно, нали?

Отхвърлянето на пълни обороти, разбира се, е приятно изживяване.) Но на практика, когато работите с абсолютно ужасни ъгли, възникват трудности.

Например:

В коя четвърт попада ъгълът 31240°?

И какво, ще добавяме ли 360 градуса много, много пъти? Възможно е, ако не гори много. Но можем не само да добавяме.) Можем и да разделяме!

Така че нека разделим нашия огромен ъгъл на 360 градуса!

С това действие ще разберем точно колко пълни оборота се крият в нашите 31240 градуса. Можете да го разделите на ъгъл, можете (шепнете в ухото си:)) на калкулатор.)

Получаваме 31240:360 = 86,777777….

Това, че числото се оказа дробно, не е страшно. Само ние цялоИнтересуват ме оборотите! Следователно не е необходимо да се разделя напълно.)

И така, в нашия рошав въглен седи цели 86 пълни оборота. Ужас…

Ще бъде в градуси86·360° = 30960°

Като този. Точно толкова градуса могат да бъдат изхвърлени безболезнено от даден ъгъл от 31240°. останки:

31240° - 30960° = 280°

Всичко! Позицията на ъгъл 31240° е напълно идентифицирана! Същото място като 280°. Тези. четвърта четвърт.) Мисля, че вече сме изобразявали този ъгъл преди? Кога беше начертан ъгълът от 1000°?) Там също отидохме 280 градуса. Съвпадение.)

И така, моралът на тази история е:

Ако ни бъде даден страшен тежък ъгъл, тогава:

1. Определете колко пълни оборота има в този ъгъл. За да направите това, разделете първоначалния ъгъл на 360 и изхвърлете дробната част.

2. Преброяваме колко градуса има в получения брой обороти. За да направите това, умножете броя на оборотите по 360.

3. Изваждаме тези обороти от първоначалния ъгъл и работим с обичайния ъгъл, вариращ от 0° до 360°.

Как да работим с отрицателни ъгли?

Няма проблем! Абсолютно същото като при положителните, само с една единствена разлика. Кое? да Трябва да завъртите ъглите обратна страна, минус! По посока на часовниковата стрелка.)

Нека начертаем, например, ъгъл от -200°. Първо, всичко е както обикновено за положителни ъгли - оси, кръг. Нека също да начертаем синя стрелка с минус и да подпишем ъглите на осите по различен начин. Естествено, те ще трябва да се отчетат и в отрицателна посока. Това ще бъдат същите ъгли, преминаващи през 90°, но преброени в обратна посока, към минус: 0°, -90°, -180°, -270°, -360°.

Картината ще изглежда така:

При работа с отрицателни ъгли често има чувство на леко недоумение. Как така?! Оказва се, че една и съща ос е, да речем, +90° и -270° едновременно? Не, има нещо подозрително тук...

Да, всичко е чисто и прозрачно! Вече знаем, че всяка точка от окръжност може да се нарече положителен или отрицателен ъгъл! Абсолютно всякакви. Включително и по някои от координатните оси. В нашия случай имаме нужда от отрицателенъглово смятане. Така че прихващаме всички ъгли към минус.)

Сега да начертаете правилно ъгъл -200° не е никак трудно. Това е -180° и минусоще 20°. Започваме да се люлеем от нула до минус: прелитаме през четвъртата четвърт, пропускаме и третата, достигаме -180°. Къде да похарча останалите двадесет? Да всичко е там! По час.) Общ ъгъл -200° попада в рамките второчетвърт.

Сега разбирате ли колко е важно да запомните твърдо ъглите на координатните оси?

Ъглите по координатните оси (0°, 90°, 180°, 270°, 360°) трябва да се запомнят точно, за да се определи точно четвъртината, в която попада ъгълът!

Ами ако ъгълът е голям, с няколко пълни оборота? Всичко е наред! Каква е разликата дали тези пълни обороти са обърнати към положителни или отрицателни? Точка върху кръг няма да промени позицията си!

Например:

В коя четвърт попада ъгълът -2000°?

Все същото! Първо преброяваме колко пълни оборота има в този зъл ъгъл. За да не объркаме знаците, нека засега оставим минуса и просто разделим 2000 на 360. Ще получим 5 с опашка. Засега не ни интересува опашката, ще я преброим малко по-късно, когато начертаем ъгъла. Ние броим петпълни обороти в градуси:

5 360° = 1800°

Еха. Точно толкова допълнителни градуса можем спокойно да изхвърлим от ъгъла си, без да навредим на здравето си.

Преброяваме останалата опашка:

2000° – 1800° = 200°

Но сега можем да си спомним за минуса.) Къде ще навием 200° опашката? Минус, разбира се! Даден ни е отрицателен ъгъл.)

2000° = -1800° - 200°

Така че чертаем ъгъл от -200°, само без допълнителни обороти. Току-що го нарисувах, но така да бъде, ще го нарисувам още веднъж. На ръка.

Ясно е, че дадения ъгъл -2000°, както и -200° попадат в рамките второ тримесечие.

И така, нека да полудеем... извинете... на главата си:

Ако е даден много голям отрицателен ъгъл, тогава първата част от работата с него (намиране на броя на пълните обороти и изхвърлянето им) е същата като при работа с положителен ъгъл. Знакът минус не играе никаква роля на този етап от решението. Знакът се взема предвид само в самия край, когато работите с ъгъла, оставащ след премахване на пълни обороти.

Както можете да видите, рисуването на отрицателни ъгли върху кръг не е по-трудно от положителните.

Всичко е същото, само в другата посока! По час!

Сега идва най-интересната част! Разгледахме положителни ъгли, отрицателни ъгли, големи ъгли, малки ъгли - пълната гама. Открихме също, че всяка точка от окръжност може да се нарече положителен и отрицателен ъгъл, отхвърлихме пълните обороти... Някакви мисли? Трябва да се отложи...

да Каквато и точка от окръжността да вземете, тя ще съответства безкраен брой ъгли! Големи и не толкова, положителни и отрицателни - всякакви! И разликата между тези ъгли ще бъде цяло брой пълни обороти. Винаги! Така работи тригонометричният кръг, да...) Ето защо обратензадачата е да се намери ъгълът с помощта на известния синус/косинус/тангенс/котангенс - разрешимо двусмислен. И много по-трудно. За разлика от директната задача - даден ъгъл, намерете целия набор от неговите тригонометрични функции. И в по-сериозните теми от тригонометрията ( арки, тригонометрични уравненияИ неравенства ) ще се сблъскваме с този трик през цялото време. Свикваме.)

1. В коя четвърт попада ъгълът -345°?

2. В коя четвъртинка попада ъгъл 666°?

3. В коя четвъртинка попада ъгъл 5555°?

4. В коя четвърт попада ъгълът -3700°?

5. Какъв знак правиcos999°?

6. Какъв знак правиctg999°?

И успя ли? Чудесен! Има проблем? Тогава ти.

Отговори:

1. 1

2. 4

3. 2

4. 3

5. "+"

6. "-"

Този път отговорите са дадени подредени, нарушавайки традицията. Защото има само четири четвърти и има само два знака. Наистина няма да избягате...)

В следващия урок ще говорим за радианите, за тайнственото число „пи“, ще се научим как лесно и просто да преобразуваме радианите в градуси и обратно. И ще бъдем изненадани да открием, че дори тези прости знания и умения ще са напълно достатъчни, за да решим успешно много нетривиални тригонометрични задачи!

Ако вече сте запознати с тригонометричен кръг , и просто искате да опресните паметта си за определени елементи или сте напълно нетърпеливи, тогава ето го:

Тук ще анализираме всичко подробно стъпка по стъпка.

Тригонометричният кръг не е лукс, а необходимост

Тригонометрия Много хора го свързват с непроходими гъсталаци. Изведнъж се натрупват толкова много стойности на тригонометрични функции, толкова много формули... Но все едно не се получи в началото и... тръгваме... пълно недоразумение...

Много е важно да не се отказвате стойности на тригонометрични функции, - казват те, винаги можете да погледнете шпора с таблица със стойности.

Ако постоянно гледате таблица със стойностите на тригонометричните формули, нека се отървем от този навик!

Той ще ни помогне! Ще работите с него няколко пъти и след това ще изскочи в главата ви. С какво е по-добре от маса? Да, в таблицата ще намерите ограничен брой стойности, но в кръга - ВСИЧКО!

Например, кажете, докато гледате стандартна таблица със стойности на тригонометрични формули , колко е синусът, равен на, да кажем, 300 градуса или -45.

Няма начин?.. можете, разбира се, да се свържете формули за намаляване... И като погледнете тригонометричната окръжност, можете лесно да отговорите на такива въпроси. И скоро ще разберете как!

И когато решавате тригонометрични уравнения и неравенства без тригонометрична окръжност, това е абсолютно никъде.

Въведение в тригонометричния кръг

Да вървим по ред.

Първо, нека напишем тази поредица от числа:

А сега това:

И накрая този:

Разбира се, ясно е, че всъщност на първо място е , на второ място е , а на последно място е . Тоест повече ще ни интересува веригата.

Но колко красиво се оказа! Ако нещо се случи, ние ще възстановим тази „стълба-чудо“.

И защо ни трябва?

Тази верига е основните стойности на синус и косинус през първото тримесечие.

Нека начертаем окръжност с единичен радиус в правоъгълна координатна система (тоест вземаме всеки радиус по дължина и обявяваме дължината му за единица).

От гредата „0-Start“ поставяме ъглите по посока на стрелката (виж фигурата).

Получаваме съответните точки на окръжността. Така че, ако проектираме точките върху всяка от осите, тогава ще получим точно стойностите от горната верига.

Защо е това, ще попитате?

Нека не анализираме всичко. Нека помислим принцип, което ще ви позволи да се справите с други подобни ситуации.

Триъгълник AOB е правоъгълен и съдържа . И знаем, че срещу ъгъл b лежи катет с половината от размера на хипотенузата (имаме хипотенузата = радиуса на окръжността, тоест 1).

Това означава AB= (и следователно OM=). И според Питагоровата теорема

Надявам се вече нещо да се изясни?

Така че точка B ще съответства на стойността, а точка M ще съответства на стойността

Същото и с другите стойности от първото тримесечие.

Както разбирате, познатата ос (вол) ще бъде косинусова ос, а оста (oy) – ос на синусите . По късно.

Вляво от нулата по косинусовата ос (под нулата по синусовата ос) ще има, разбира се, отрицателни стойности.

И така, ето го ВСЕМОГЪЩИЯТ, без когото няма никъде в тригонометрията.

Но ние ще говорим за това как да използваме тригонометричния кръг в.

Ъгъл: ° π rad =

Преобразуване в: радиани градуси 0 - 360° 0 - 2π положително отрицателно Изчисляване

Когато линиите се пресичат, има четири различни области спрямо точката на пресичане.
Тези нови области се наричат ъгли.

Картината показва 4 различни ъгъла, образувани от пресечната точка на правите AB и CD

Ъглите обикновено се измерват в градуси, което се означава като °. Когато даден обект направи пълен кръг, т.е. се движи от точка D през B, C, A и след това обратно към D, тогава се казва, че се е обърнал на 360 градуса (360°). Така че градусът е $\frac(1)(360)$ от кръг.

Ъгли, по-големи от 360 градуса

Говорихме за това, че когато обект прави пълен кръг около точка, той се върти на 360 градуса, но когато обект прави повече от един кръг, той образува ъгъл от повече от 360 градуса. Това е често срещано явление в ежедневието. Колелото обикаля много кръгове, когато колата се движи, тоест образува ъгъл от повече от 360°.

За да разберем броя на циклите (завършени кръгове) при въртене на обект, преброяваме колко пъти трябва да добавим 360 към него, за да получим число, равно или по-малко от даден ъгъл. По същия начин намираме число, което умножаваме по 360, за да получим число, което е по-малко, но най-близо до дадения ъгъл.

Пример 2
1. Намерете броя на кръговете, описани от обект, образуващ ъгъл
а) 380°
б) 770°
в) 1000°
Решение
а) 380 = (1 × 360) + 20
Обектът описва един кръг и 20°
Тъй като $20^(\circ) = \frac(20)(360) = \frac(1)(18)$ кръг
Обектът описва $1\frac(1)(18)$ кръгове.

B) 2 × 360 = 720
770 = (2 × 360) + 50
Обектът описва два кръга и 50°
$50^(\circ) = \frac(50)(360) = \frac(5)(36)$ кръг
Обектът описва $2\frac(5)(36)$ от кръг
в) 2 × 360 = 720
1000 = (2 × 360) + 280
$280^(\circ) = \frac(260)(360) = \frac(7)(9)$ кръгове
Обектът описва $2\frac(7)(9)$ кръгове

Когато даден обект се върти по посока на часовниковата стрелка, той образува отрицателен ъгъл на въртене, а когато се върти обратно на часовниковата стрелка, той образува положителен ъгъл. До този момент разглеждахме само положителните ъгли.

Във формата на диаграма отрицателен ъгъл може да бъде изобразен, както е показано по-долу.

Фигурата по-долу показва знака на ъгъла, който се измерва от обща права линия, оста 0 (ос x - ос x)

Това означава, че ако има отрицателен ъгъл, можем да получим съответен положителен ъгъл.
Например долната част на вертикална линия е 270°. Когато се измерва в отрицателна посока, получаваме -90°. Просто изваждаме 270 от 360. Даден е отрицателен ъгъл, добавяме 360, за да получим съответния положителен ъгъл.
Когато ъгълът е -360°, това означава, че обектът е направил повече от един кръг по посока на часовниковата стрелка.

Пример 3
1. Намерете съответния положителен ъгъл
а) -35°
б) -60°
в) -180°
г) - 670°

2. Намерете съответния отрицателен ъгъл от 80°, 167°, 330° и 1300°.
Решение
1. За да намерим съответния положителен ъгъл, добавяме 360 към стойността на ъгъла.
а) -35°= 360 + (-35) = 360 - 35 = 325°
б) -60°= 360 + (-60) = 360 - 60 = 300°
в) -180°= 360 + (-180) = 360 - 180 = 180°
г) -670°= 360 + (-670) = -310
Това означава един кръг по часовниковата стрелка (360)
360 + (-310) = 50°
Ъгълът е 360 + 50 = 410°

2. За да получим съответния отрицателен ъгъл, изваждаме 360 от стойността на ъгъла.
80° = 80 - 360 = - 280°
167° = 167 - 360 = -193°
330° = 330 - 360 = -30°
1300° = 1300 - 360 = 940 (една завършена обиколка)
940 - 360 = 580 (втори кръг завършен)
580 - 360 = 220 (трети кръг завършен)
220 - 360 = -140°
Ъгълът е -360 - 360 - 360 - 140 = -1220°
Така 1300° = -1220°

радиан

Радианът е ъгълът от центъра на кръг, който обхваща дъга, чиято дължина е равна на радиуса на кръга. Това е мерна единица за ъглова величина. Този ъгъл е приблизително 57,3°.
В повечето случаи това се означава като радвам се.
Така $1 rad \приблизително 57,3^(\circ)$

Радиус = r = OA = OB = AB
Ъгъл BOA е равен на един радиан

Тъй като обиколката е дадена като $2\pi r$, тогава има $2\pi$ радиуса в кръга и следователно в целия кръг има $2\pi$ радиана.

Радианите обикновено се изразяват като $\pi$, за да се избегнат десетичните знаци в изчисленията. В повечето книги съкр радвам сене се среща, но читателят трябва да знае, че когато става въпрос за ъгъл, той се посочва в $\pi$ и мерните единици автоматично стават радиани.

$360^(\circ) = 2\pi\rad$
$180^(\circ) = \pi\rad$,
$90^(\circ) = \frac(\pi)(2) rad$,
$30^(\circ) = \frac(30)(180)\pi = \frac(\pi)(6) rad$,
$45^(\circ) = \frac(45)(180)\pi = \frac(\pi)(4) rad$,
$60^(\circ) = \frac(60)(180)\pi = \frac(\pi)(3) rad$
$270^(\circ) = \frac(270)(180)\pi = \frac(27)(18)\pi = 1\frac(1)(2)\pi\ rad$

Пример 4
1. Преобразувайте 240°, 45°, 270°, 750° и 390° в радиани с помощта на $\pi$.
Решение
Нека умножим ъглите по $\frac(\pi)(180)$.
$240^(\circ) = 240 \пъти \frac(\pi)(180) = \frac(4)(3)\pi=1\frac(1)(3)\pi$
$120^(\circ) = 120 \times \frac(\pi)(180) = \frac(2\pi)(3)$
$270^(\circ) = 270 \пъти \frac(1)(180)\pi = \frac(3)(2)\pi=1\frac(1)(2)\pi$
$750^(\circ) = 750 \пъти \frac(1)(180)\pi = \frac(25)(6)\pi=4\frac(1)(6)\pi$
$390^(\circ) = 390 \пъти \frac(1)(180)\pi = \frac(13)(6)\pi=2\frac(1)(6)\pi$

2. Преобразувайте следните ъгли в градуси.
а) $\frac(5)(4)\pi$
б) $3,12\pi$
в) 2,4 радиана
Решение
$180^(\circ) = \pi$
a) $\frac(5)(4) \pi = \frac(5)(4) \times 180 = 225^(\circ)$
b) $3,12\pi = 3,12 \умножено по 180 = 561,6^(\circ)$
в) 1 рад = 57,3°
$2,4 = \frac(2,4 \умножено по 57,3)(1) = 137,52$

Отрицателни ъгли и ъгли, по-големи от $2\pi$ радиана

За да преобразуваме отрицателен ъгъл в положителен, ние го добавяме към $2\pi$.
За да преобразуваме положителен ъгъл в отрицателен, изваждаме $2\pi$ от него.

Пример 5
1. Преобразувайте $-\frac(3)(4)\pi$ и $-\frac(5)(7)\pi$ в положителни ъгли в радиани.

Решение
Добавете $2\pi$ към ъгъла
$-\frac(3)(4)\pi = -\frac(3)(4)\pi + 2\pi = \frac(5)(4)\pi = 1\frac(1)(4)\ pi$

$-\frac(5)(7)\pi = -\frac(5)(7)\pi + 2\pi = \frac(9)(7)\pi = 1\frac(2)(7)\ pi$

Когато обект се завърти на ъгъл, по-голям от $2\pi$;, той прави повече от един кръг.
За да определим броя на оборотите (кръгове или цикли) в такъв ъгъл, намираме число, умножавайки го по $2\pi$, резултатът е равен или по-малък, но възможно най-близо до това число.

Пример 6
1. Намерете броя на кръговете, преминати от обекта при дадени ъгли
а) $-10\pi$
б) $9\pi$
в) $\frac(7)(2)\pi$

Решение
а) $-10\pi = 5(-2\pi)$;
$-2\pi$ предполага един цикъл по посока на часовниковата стрелка, това означава, че
обектът направи 5 цикъла по посока на часовниковата стрелка.

b) $9\pi = 4(2\pi) + \pi$, $\pi =$ половин цикъл
обектът направи четири и половина цикъла обратно на часовниковата стрелка

в) $\frac(7)(2)\pi=3.5\pi=2\pi+1.5\pi$, $1.5\pi$ е равно на три четвърти от цикъла $(\frac(1.5\pi)(2 \pi)= \frac(3)(4))$
обектът е преминал през една и три четвърти от цикъл обратно на часовниковата стрелка