Ovaj članak je o geometrijskoj figuri. Za druga značenja riječi, pogledajte stranicu Kvadrat (značenja). Kvadrat Kvadrat je pravilan četverougao. Svojstva Kvadrat se može definirati kao pravougaonik u kojem su dvije susjedne stranice jednake rombu, y... ... Wikipedia

Pravilni sedmougao Pravilan poligon je konveksan mnogougao u kojem su sve stranice i uglovi jednaki. Definicija pravilnog poligona može zavisiti od definicije ... Wikipedia

Pravilan sedmougao je pravilan poligon sa sedam strana. Sadržaj ... Wikipedia

Pravilni desetokut je geometrijska figura koja pripada grupi pravilnih poligona. Ima sedamnaest stranica i sedamnaest uglova, svi njegovi uglovi i stranice su jednaki jedni drugima, svi vrhovi leže na jednoj kružnici. Sadržaj 1... ...Vikipedija

65537 kvadrat ili krug? Pravilni poligon 65537 (šezdeset i pet ̀syachfivesòtrideset sedam ugao) je geometrijska figura iz grupe pravilnih poligona, koja se sastoji od 65537 ... Wikipedia

257 kvadrat ili krug? Pravilni trougao od 257 je pravilan poligon sa 257 strana. Sadržaj ... Wikipedia

ispravan- Ispravljam/ispravljam, oh; lan, lan, lan. vidi takođe ispravnost 1) a) Odgovara utvrđenim pravilima, ne odstupajući od postojećih pravila, normi, poretka. P oe izgovor, pravopis. P-ti fizički razvoj djeteta. Nema distribucije..... Rečnik mnogih izraza

I. TAČNO oh, oh; lan, lan, lan. 1. Usklađen sa utvrđenim pravilima, ne odstupajući od postojećih pravila, normi, poretka. P oe izgovor, pravopis. P-ti fizički razvoj djeteta. P e r distribucija energetskih resursa. On je čovek…… enciklopedijski rječnik

U ovom članku ćemo pogledati sve glavne svojstva i karakteristike četvorouglova.

Za početak ću urediti sve vrste četverokuta u obliku takvog sažetog dijagrama:

Dijagram je izvanredan po tome što četvorouglovi u svakom redu imaju SVA SVOJSTVA ČETVORUGA KOJI SE NALAZE IZNAD NJIH. Stoga, morate zapamtiti vrlo malo.

Trapez je četverougao čije su dvije stranice paralelne, a druge dvije nisu paralelne. Paralelne stranice se nazivaju trapezoidne osnove, ne paralelno - strane.

1 . U trapezu zbir uglova susednih jednoj strani jednako 180°: A+B=180°, C+D=180°

2 . Simetrala bilo kojeg ugla trapeza odsijeca u svojoj osnovi segment jednak strani:

3. Simetrale susjednih uglova trapeza seku se pod pravim uglom.

4 .Trapez se zove jednakokraki, ako su njegove strane jednake:

U jednakokrakom trapezu

5. Površina trapeza jednak proizvodu polovine zbira osnovica i visine:

Paralelogram je četverougao čije su suprotne strane paralelne u parovima: U paralelogramu:

• suprotne strane i suprotni uglovi su jednaki
• Dijagonale paralelograma podijeljene su na pola svojom točkom presjeka:

Prema tome, ako četverougao ima ova svojstva, onda je to paralelogram.

Područje paralelograma jednak umnošku osnove i visine:

ili umnožak stranica i sinusa ugla između njih:

:

Rhombus je paralelogram u kojem su sve strane jednake:

• suprotni uglovi su jednaki
• dijagonale su podijeljene na pola svojom točkom presjeka
  
• dijagonale su međusobno okomite
  
• Dijagonale romba su simetrale uglova

Rhombus area jednako polovini umnoška dijagonala:

ili proizvod kvadrata stranice i sinusa ugla između stranica:

Danas ćemo razmotriti geometrijsku figuru - četverokut. Već iz naziva ove figure postaje jasno da ova figura ima četiri ugla. Ali u nastavku ćemo razmotriti preostale karakteristike i svojstva ove slike.

Šta je četvorougao

Četvorougao je mnogougao koji se sastoji od četiri tačke (vrhova) i četiri segmenta (stranice) koji povezuju ove tačke u parove. Površina četverokuta jednaka je polovini umnoška njegovih dijagonala i kuta između njih.

Četvorougao je mnogokut sa četiri vrha, od kojih tri ne leže na pravoj liniji.

Vrste četvorouglova

• Četvorougao čije su suprotne strane paralelne u parovima naziva se paralelogram.
• Četvorougao kod kojeg su dvije suprotne strane paralelne, a druge dvije nisu, naziva se trapez.
• Četvorougao sa svim pravim uglovima je pravougaonik.
• Četvorougao čiji su sve strane jednake je romb.
• Četvorougao u kojem su sve stranice jednake i svi uglovi pravi naziva se kvadrat.

Četvorougao može biti:

Samopresecanje

Nekonveksan

Konveksna

Samopresecajući četvorougao je četverougao u kojem bilo koja od njegovih stranica ima presječnu točku (plavo na slici).

Nekonveksni četverougao je četverougao u kojem je jedan od unutrašnjih uglova veći od 180 stepeni (na slici je označeno narandžastom bojom).

Zbir uglova svaki četvorougao koji se ne siječe uvijek je jednak 360 stepeni.

Posebne vrste četvorouglova

Četvorouglovi mogu imati dodatna svojstva, formirajući posebne vrste geometrijskih oblika:

• Paralelogram
• Pravougaonik
• Square
• Trapez
• Deltoid
• Kontraparalelogram

Četvorougao i krug

Četvorougao opisan oko kružnice (krug upisan u četvorougao).

Glavno svojstvo opisanog četvorougla:

Četvorokut se može opisati oko kruga ako i samo ako su zbroji dužina suprotnih strana jednaki.

Četvorokut upisan u krug (krug opisan oko četverokuta)

Glavno svojstvo upisanog četvorougla:

Četvorougao se može upisati u krug ako i samo ako je zbir suprotnih uglova jednak 180 stepeni.

Svojstva dužina stranica četvorougla

Modul razlike između bilo koje dvije stranice četverougla ne prelazi zbir svoje druge dvije strane.

|a - b| ≤ c + d

|a - c| ≤ b + d

|a - d| ≤ b + c

|b - c| ≤ a + d

|b - d| ≤ a + b

|c - d| ≤ a + b

Bitan. Nejednakost vrijedi za bilo koju kombinaciju stranica četverougla. Crtež je dat isključivo radi lakše percepcije.

U bilo kojem četvorouglu zbir dužina njegove tri strane nije manji od dužine četvrte stranice.

Bitan. Prilikom rješavanja zadataka u okviru školskog programa možete koristiti strogu nejednakost (<). Равенство достигается только в случае, если четырехугольник является "вырожденным", то есть три его точки лежат на одной прямой. То есть эта ситуация не попадает под классическое определение четырехугольника.

U školskom programu u nastavi geometrije morate se baviti raznim vrstama četverokuta: rombovi, paralelogrami, pravokutnici, trapezi, kvadrati. Prvi oblici za proučavanje su pravougaonik i kvadrat.

Dakle, šta je pravougaonik? Definicija za 2. razred srednje škole će izgledati ovako: ovo je četvorougao sa sva četiri prava ugla. Lako je zamisliti kako izgleda pravougaonik: to je figura sa 4 prava ugla i stranicama paralelnim jedna s drugom u parovima.

U kontaktu sa

Kako da shvatimo, kada rješavamo drugi geometrijski problem, s kojim četverouglom imamo posla? Postoje tri glavna znaka, po čemu se nepogrešivo može utvrditi da je riječ o pravokutniku. nazovimo ih:

• figura je četverougao čija su tri ugla jednaka 90°;
• predstavljeni četvorougao je paralelogram sa jednakim dijagonalama;
• paralelogram koji ima barem jedan pravi ugao.

Zanimljivo je znati: šta je konveksno, njegove karakteristike i simptomi.

Pošto je pravougaonik paralelogram (tj. četvorougao sa parovima paralelnih suprotnih strana), tada će za njega biti ispunjene sve njegove osobine i karakteristike.

Formule za izračunavanje dužina stranica

U pravougaoniku suprotne strane su jednake i međusobno paralelne. Duža strana se obično naziva dužinom (označena sa a), kraća strana naziva se širinom (označena sa b). U pravougaoniku na slici, dužine su stranice AB i CD, a širine AC i B. D. One su također okomite na osnovice (tj., to su visine).

Da biste pronašli strane, možete koristiti formule u nastavku. Koriste sljedeće konvencije: a - dužina pravokutnika, b - njegova širina, d - dijagonala (segment koji povezuje vrhove dvaju ugla koji leže jedan naspram drugog), S - površina figure, P - perimetar, α - ugao između dijagonale i dužine, β je oštar ugao formiran od obe dijagonale. Metode za pronalaženje dužina stranica:

• Koristeći dijagonalu i poznatu stranu: a = √(d² - b²), b = √(d² - a²).
• Na osnovu površine figure i jedne od njenih strana: a = S / b, b = S / a.
• Koristeći perimetar i poznatu stranu: a = (P - 2 b) / 2, b = (P - 2 a) / 2.
• Kroz dijagonalu i ugao između nje i dužine: a = d sinα, b = d cosα.
• Kroz dijagonalu i ugao β: a = d sin 0,5 β, b = d cos 0,5 β.

Perimetar i površina

Obim četvorougla se naziva zbir dužina svih njegovih stranica. Za izračunavanje perimetra mogu se koristiti sljedeće formule:

• Kroz obje strane: P = 2 (a + b).
• Kroz površinu i jednu od stranica: P = (2S + 2a²) / a, P = (2S + 2b²) / b.

Područje je prostor omeđen perimetrom. Tri glavna načina za izračunavanje površine:

• Kroz dužine obe strane: S = a*b.
• Koristeći perimetar i bilo koju poznatu stranu: S = (Pa - 2 a²) / 2; S = (Pb - 2 b²) / 2.
• Dijagonalno i ugao β: S = 0,5 d² sinβ.

Zadaci u školskom kursu matematike često zahtijevaju dobro poznavanje svojstva dijagonala pravougaonika. Navodimo glavne:

1. Dijagonale su jedna drugoj i podijeljene su na dva jednaka segmenta u tački njihovog sjecišta.
2. Dijagonala je definirana kao korijen zbira obje strane na kvadrat (slijedi iz Pitagorine teoreme).
3. Dijagonala dijeli pravougaonik na dva pravougaona trougla.
4. Točka presjeka se poklapa sa središtem opisane kružnice, a same dijagonale poklapaju se s njegovim prečnikom.

Za izračunavanje dužine dijagonale koriste se sljedeće formule:

• Koristeći dužinu i širinu figure: d = √(a² + b²).
• Koristeći poluprečnik kružnice opisane oko četvorougla: d = 2 R.

Definicija i svojstva kvadrata

Kvadrat je poseban slučaj romba, paralelograma ili pravokutnika. Njegova razlika od ovih figura je u tome što su svi njegovi uglovi pravi i sve četiri strane jednake. Kvadrat je pravilan četvorougao.

Četvorokut se naziva kvadrat u sljedećim slučajevima:

1. Ako je to pravougaonik čija su dužina a i širina b jednake.
2. Ako je to romb jednakih dužina dijagonala i četiri prava ugla.

Svojstva kvadrata uključuju sva prethodno razmatrana svojstva vezana za pravougaonik, kao i sljedeće:

1. Dijagonale su okomite jedna na drugu (osobina romba).
2. Tačka presjeka se poklapa sa središtem upisane kružnice.
3. Obje dijagonale dijele četverougao na četiri jednaka pravokutna i jednakokračna trougla.

Ovdje su najčešće korištene formule za proračuni perimetra, površine i kvadrata:

• Dijagonala d = a √2.
• Perimetar P = 4 a.
• Površina S = a².
• Poluprečnik opisane kružnice je polovina dijagonale: R = 0,5 a √2.
• Poluprečnik upisane kružnice je definisan kao polovina dužine stranice: r = a / 2.

Primjeri pitanja i zadataka

Pogledajmo neka pitanja na koja možete naići dok studirate matematiku u školi i riješimo nekoliko jednostavnih problema.

Zadatak 1. Kako će se promijeniti površina pravokutnika ako se dužina njegovih stranica utrostruči?

Rješenje : Označimo površinu originalne figure kao S0, a površinu četverokuta sa trostrukom dužinom stranica kao S1. Koristeći formulu o kojoj smo ranije govorili, dobijamo: S0 = ab. Sada povećajmo dužinu i širinu za 3 puta i napišimo: S1= 3 a 3 b = 9 ab. Upoređujući S0 i S1, postaje očigledno da je druga oblast 9 puta veća od prve.

Pitanje 1. Da li je četvorougao sa pravim uglovima kvadrat?

Rješenje : Iz definicije proizilazi da je lik sa pravim uglovima kvadrat samo ako su dužine svih njegovih stranica jednake. U drugim slučajevima, figura je pravougaonik.

Zadatak 2. Dijagonale pravougaonika čine ugao od 60 stepeni. Širina pravougaonika je 8. Izračunajte kolika je dijagonala.

Rješenje: Podsjetimo da su dijagonale podijeljene na pola točkom presjeka. Dakle, imamo posla sa jednakokračnim trouglom sa uglom na vrhu od 60°. Pošto je trougao jednakokrak, uglovi u osnovi će takođe biti isti. Jednostavnim proračunima nalazimo da je svaki od njih jednak 60°. Iz toga slijedi da je trokut jednakostraničan. Širina koju poznajemo je osnova trougla, dakle polovina dijagonale je također jednaka 8, a dužina cijele dijagonale je dvostruko veća i jednaka je 16.

Pitanje 2. Da li pravougaonik ima sve stranice jednake ili ne?

Rješenje : Dovoljno je zapamtiti da sve strane moraju biti jednake u kvadratu, što je poseban slučaj pravokutnika. U svim ostalim slučajevima dovoljan uslov je prisustvo najmanje 3 prava ugla. Jednakost stranaka nije obavezna karakteristika.

Problem 3. Površina kvadrata je poznata i jednaka je 289. Nađite poluprečnike upisane i opisane kružnice.

Rješenje : Koristeći formule za kvadrat, izvršit ćemo sljedeće proračune:

• Odredimo čemu su jednaki osnovni elementi kvadrata: a = √ S = √289 = 17; d = a √2 =1 7√2.
• Izračunajmo poluprečnik kružnice opisane oko četvorougla: R = 0,5 d = 8,5√2.
• Nađimo radijus upisane kružnice: r = a / 2 = 17 / 2 = 8,5.

Definicija. Paralelogram je četverougao čije su suprotne strane paralelne u parovima.

Nekretnina. U paralelogramu su suprotne strane jednake, a suprotni uglovi jednaki.

Nekretnina. Dijagonale paralelograma podijeljene su na pola točkom presjeka.

1 znak paralelograma. Ako su dvije stranice četverougla jednake i paralelne, onda je četverokut paralelogram.

2 znak paralelograma. Ako su u četverokutu suprotne strane u paru jednake, onda je ovaj četverokut paralelogram.

3 znak paralelograma. Ako se dijagonale četverougla sijeku i prepolovljene točkom presjeka, onda je četverokut paralelogram.

Definicija. Trapez je četverougao u kojem su dvije stranice paralelne, a druge dvije stranice nisu paralelne. Paralelne stranice se nazivaju razlozi.

Trapez se zove jednakokraki (jednakostranični), ako su njegove strane jednake. U jednakokrakom trapezu, uglovi na osnovama su jednaki.

Trapez čiji je jedan ugao pravi se naziva pravougaona.

Segment koji povezuje sredine stranica naziva se srednja linija trapeza. Srednja linija je paralelna sa bazama i jednaka je njihovom poluzbiru.

Definicija. Pravougaonik je paralelogram čiji su svi uglovi pravi.

Nekretnina. Dijagonale pravougaonika su jednake.

Znak pravougaonika. Ako su dijagonale paralelograma jednake, onda je ovaj paralelogram pravougaonik.

Definicija. Romb je paralelogram u kojem su sve strane jednake.

Nekretnina. Dijagonale romba su međusobno okomite i sijeku njegove uglove.

Definicija. Kvadrat je pravougaonik čije su sve stranice jednake.

Kvadrat je posebna vrsta pravougaonika, kao i posebna vrsta romba. Stoga ima sva njihova svojstva.

Svojstva:
1. Svi uglovi kvadrata su pravi

2. Dijagonale kvadrata su jednake, međusobno okomite, tačka preseka prepolovi i prepolovi uglove kvadrata.