Геометрията като наука се формира в древен Египет и достига високо ниво на развитие. Известният философ Платон основава Академията, където се обръща голямо внимание на систематизирането на съществуващите знания. Конусът като една от геометричните фигури се споменава за първи път в известния трактат на Евклид "Начала". Евклид е бил запознат с произведенията на Платон. Сега малко хора знаят, че думата "конус" на гръцки означава "борова шишарка". Гръцкият математик Евклид, живял в Александрия, с право се смята за основател на геометричната алгебра. Древните гърци не само стават приемници на знанията на египтяните, но и значително разширяват теорията.

История на определението за конус

Геометрията като наука възниква от практическите изисквания за изграждане и наблюдение на природата. Постепенно експерименталните знания се обобщават и свойствата на едни тела се доказват чрез други. Древните гърци въвеждат концепцията за аксиоми и доказателства. Аксиомата е твърдение, получено по практически начин и не изисква доказателство.

В книгата си Евклид дава дефиницията на конус като фигура, която се получава чрез въртене на правоъгълен триъгълник около един от краката. Той също така притежава основната теорема, която определя обема на конуса. И древногръцкият математик Евдокс от Книд доказва тази теорема.

Друг математик от древна Гърция, Аполоний от Перга, който е ученик на Евклид, развива и излага теорията на коничните повърхности в своите книги. Той притежава определението за конична повърхност и секуща към нея. Учениците от наши дни изучават евклидовата геометрия, която е запазила основните теореми и определения от древни времена.

Основни определения

Прав кръгъл конус се образува от въртенето на правоъгълен триъгълник около един катет. Както можете да видите, концепцията за конус не се е променила от времето на Евклид.

Хипотенузата AS на правоъгълен триъгълник AOS, когато се върти около крака OS, образува страничната повърхност на конуса, затова се нарича образуваща. Кракът OS на триъгълника се превръща едновременно във височината на конуса и неговата ос. Точка S става върха на конуса. Кракът AO, описал окръжността (основата), се превърна в радиуса на конуса.

Ако начертаем равнина отгоре през върха и оста на конуса, можем да видим, че полученото аксиално сечение е равнобедрен триъгълник, в който оста е височината на триъгълника.

Където ° С- обиколка на основата, ле дължината на образуващата на конуса, Ре радиусът на основата.

Формулата за изчисляване на обема на конус

Следната формула се използва за изчисляване на обема на конус:

където S е площта на основата на конуса. Тъй като основата е кръг, неговата площ се изчислява, както следва:

Това предполага:

където V е обемът на конуса;

n е число, равно на 3,14;

R е радиусът на основата, съответстващ на сегмента AO на фигура 1;

H е височината, равна на сегмента OS.

Пресечен конус, обем

Има прав кръгъл конус. Ако горната част се отреже от равнина, перпендикулярна на височината, тогава ще се получи пресечен конус. Двете му основи имат формата на кръг с радиуси R 1 и R 2 .

Ако правият конус се образува от въртенето на правоъгълен триъгълник, тогава пресеченият конус се образува от въртенето на правоъгълен трапец около правата страна.

Обемът на пресечен конус се изчислява по следната формула:

V \u003d n * (R 1 2 + R 2 2 + R 1 * R 2) * H / 3.

Конус и неговото сечение с равнина

Перу на древногръцкия математик Аполоний от Перга принадлежи към теоретичната работа "Конични сечения". Благодарение на работата му в геометрията се появиха определения за криви: парабола, елипса, хипербола. Помислете, и тук е конусът.

Вземете правилен кръгъл конус. Ако равнината я пресича перпендикулярно на оста, тогава в сечението се образува кръг. Когато секансът пресича конуса под ъгъл спрямо оста, тогава в сечението се получава елипса.

Секущата, перпендикулярна на основата и успоредна на оста на конуса, образува хипербола върху повърхността. Равнина, пресичаща конуса под ъгъл към основата и успоредна на допирателната към конуса, създава крива на повърхността, която се нарича парабола.

Решението на проблема

Дори простата задача как да направите кофа с определен обем изисква знания. Например, трябва да изчислите размерите на една кофа, така че да има обем от 10 литра.

V \u003d 10 l \u003d 10 dm 3;

Развитието на конуса има формата, показана схематично на фигура 3.

L - образуваща на конуса.

За да разберете повърхността на кофа, която се изчислява по следната формула:

S \u003d n * (R 1 + R 2) * L,

необходимо е да се изчисли образуващата. Намираме го от стойността на обема V \u003d n * (R 1 2 + R 2 2 + R 1 * R 2) * H / 3.

Следователно H=3V/n*(R 1 2 +R 2 2 +R 1 *R 2).

Пресечен конус се образува чрез въртене на правоъгълен трапец, в който страничната страна е образуващата на конуса.

L 2 \u003d (R 2- R 1) 2 + H 2.

Сега имаме всички данни за изграждане на чертежа на кофата.

Защо пожарните кофи имат форма на конус?

Кой се чудеше защо пожарните кофи имат привидно странна конична форма? И не е само това. Оказва се, че при гасене на пожар коничната кофа има много предимства пред конвенционалната, пресечен конус.

Първо, както се оказва, пожарната кофа се пълни с вода по-бързо и не се разлива при носене. Конус, по-голям от обикновена кофа, ви позволява да носите повече вода наведнъж.

Второ, водата от него може да бъде изхвърлена на по-голямо разстояние, отколкото от конвенционална кофа.

Трето, ако коничната кофа падне от ръцете и падне в огъня, тогава цялата вода се излива върху огъня.

Всички тези фактори спестяват време – основният фактор при гасенето на пожар.

Практическа употреба

Учениците често имат въпроса защо да се научат как да изчисляват обема на различни геометрични тела, включително конус.

И инженерите-конструктори постоянно се сблъскват с необходимостта да изчислят обема на коничните части на частите на механизма. Това са върховете на бормашини, части от стругови и фрезови машини. Формата на конуса ще позволи на свредлата лесно да влязат в материала, без да е необходимо първоначално намазване със специален инструмент.

Обемът на конуса има купчина пясък или пръст, изсипана върху земята. Ако е необходимо, като направите прости измервания, можете да изчислите неговия обем. За някои въпросът как да разберете радиуса и височината на купчина пясък ще предизвика трудности. Въоръжени с рулетка, измерваме обиколката на могилата C. Използвайки формулата R \u003d C / 2n, намираме радиуса. Хвърляйки въже (рулетка) отгоре, намираме дължината на генератора. И да се изчисли височината с помощта на Питагоровата теорема и обем не е трудно. Разбира се, такова изчисление е приблизително, но ви позволява да определите дали не сте били измамени, като донесете тон пясък вместо куб.

Някои сгради имат формата на пресечен конус. Например, телевизионната кула в Останкино се доближава до формата на конус. Може да се представи като състоящ се от два конуса, поставени един върху друг. Куполите на древните замъци и катедрали са конус, чийто обем древните архитекти са изчислили с удивителна точност.

Ако се вгледате внимателно в околните предмети, много от тях са конуси:

• фунии за изливане на течности;
• клаксон-високоговорител;
• конуси за паркиране;
• абажур за подова лампа;
• обичайното коледно дърво;
• духови музикални инструменти.

Както може да се види от горните примери, способността за изчисляване на обема на конус, неговата повърхност е необходима в професионалния и ежедневния живот. Надяваме се, че тази статия ще ви помогне.

Понякога възниква задача - да се направи защитен чадър за изпускателна или коминна тръба, изпускателен дефлектор за вентилация и др. Но преди да започнете производството, трябва да направите шаблон (или сканиране) за материала. В интернет има всякакви програми за изчисляване на такива размахвания. Задачата обаче е толкова лесна за решаване, че бързо ще я изчислите с калкулатор (на компютър), отколкото ще търсите, теглите и се занимавате с тези програми.

Нека започнем с проста опция - развитието на обикновен конус. Най-лесният начин да обясните принципа на изчисляване на модела е с пример.

Да предположим, че трябва да направим конус с диаметър D cm и височина H сантиметра. Съвсем ясно е, че кръг с изрязан сегмент ще действа като заготовка. Известни са два параметъра - диаметър и височина. Използвайки теоремата на Питагор, изчисляваме диаметъра на кръга на детайла (не го бъркайте с радиуса завършенконуси). Половината от диаметъра (радиуса) и височината образуват правоъгълен триъгълник. Ето защо:

И така, сега знаем радиуса на детайла и можем да изрежем кръга.

Изчислете ъгъла на сектора, който трябва да се изреже от кръга. Ние аргументираме следното: Диаметърът на детайла е 2R, което означава, че обиколката е Pi * 2 * R - т.е. 6,28*R. Означаваме го с L. Кръгът е пълен, т.е. 360 градуса. А обиколката на готовия конус е Pi * D. Означаваме го с Lm. Тя, разбира се, е по-малка от обиколката на детайла. Трябва да изрежем сегмент с дължина на дъгата, равна на разликата между тези дължини. Приложете правилото за съотношението. Ако 360 градуса ни дава пълната обиколка на детайла, тогава желаният ъгъл трябва да даде обиколката на готовия конус.

От формулата за съотношението получаваме размера на ъгъла X. И секторът на изрязване се намира чрез изваждане на 360 - X.

От кръгла заготовка с радиус R трябва да се изреже сектор с ъгъл (360-X). Не забравяйте да оставите малка лента от припокриващ се материал (ако конусната стойка ще се припокрива). След като свържем страните на изрязания сектор, получаваме конус с даден размер.

Например: Нуждаем се от конус на коминния капак с височина (H) 100 mm и диаметър (D) 250 mm. Според формулата на Питагор получаваме радиуса на детайла - 160 мм. И обиколката на детайла, съответно, 160 х 6,28 = 1005 мм. В същото време обиколката на конуса, от който се нуждаем, е 250 x 3,14 = 785 mm.

Тогава получаваме, че съотношението на ъглите ще бъде: 785 / 1005 x 360 = 281 градуса. Съответно е необходимо да изрежете сектора 360 - 281 = 79 градуса.

Изчисляване на заготовката на шаблона за пресечен конус.

Такъв детайл понякога е необходим при производството на адаптери от един диаметър към друг или за дефлектори на Volpert-Grigorovich или Khanzhenkov. Те се използват за подобряване на тягата в комин или вентилационна тръба.

Задачата е леко усложнена от факта, че не знаем височината на целия конус, а само неговата пресечена част. Като цяло има три начални числа: височината на пресечения конус H, диаметърът на долния отвор (основата) D и диаметърът на горния отвор Dm (при напречното сечение на пълния конус). Но ние ще прибегнем до същите прости математически конструкции, базирани на теоремата на Питагор и подобие.

Наистина, очевидно е, че стойността (D-Dm) / 2 (половината от разликата в диаметрите) ще бъде свързана с височината на пресечения конус H по същия начин като радиуса на основата към височината на целия конус, сякаш не е съкратено. Намираме общата височина (P) от това съотношение.

(D – Dm)/ 2H = D/2P

Оттук Р = D x H / (D-Dm).

Сега, знаейки общата височина на конуса, можем да намалим решението на задачата до предишната. Изчислете развитието на детайла като за пълен конус и след това „извадете“ от него развитието на горната му, ненужна част. И можем да изчислим директно радиусите на детайла.

Получаваме по теоремата на Питагор по-голям радиус на детайла - Rz. Това е корен квадратен от сбора на квадратите на височината P и D/2.

По-малкият радиус Rm е корен квадратен от сумата от квадрати (P-H) и Dm/2.

Обиколката на нашия детайл е 2 x Pi x Rz, или 6,28 x Rz. А обиколката на основата на конуса е Pi x D, или 3,14 x D. Съотношението на техните дължини ще даде съотношението на ъглите на секторите, ако приемем, че пълният ъгъл в детайла е 360 градуса.

Тези. X / 360 = 3,14 x D / 6,28 x Rz

Следователно X \u003d 180 x D / Rz (Това е ъгълът, който трябва да се остави, за да се получи обиколката на основата). И трябва да изрежете съответно 360 - X.

Например: Трябва да направим пресечен конус с височина 250 mm, диаметър на основата 300 mm, диаметър на горния отвор 200 mm.

Намираме височината на пълния конус P: 300 x 250 / (300 - 200) = 600 mm

Според метода на Питагор намираме външния радиус на детайла Rz: корен квадратен от (300/2) ^ 2 + 6002 = 618,5 mm

Със същата теорема намираме по-малкия радиус Rm: корен квадратен от (600 - 250)^2 + (200/2)^2 = 364 mm.

Определяме ъгъла на сектора на нашия детайл: 180 x 300 / 618,5 = 87,3 градуса.

Върху материала начертаваме дъга с радиус 618,5 mm, след това от същия център - дъга с радиус 364 mm. Ъгълът на дъгата може да има приблизително 90-100 градуса на отваряне. Начертаваме радиуси с ъгъл на отваряне 87,3 градуса. Нашата подготовка е готова. Не забравяйте да предвидите ръбовете на шевовете, ако се припокриват.

Сред разнообразието от геометрични тела едно от най-интересните е конусът. Образува се чрез въртене на правоъгълен триъгълник около един от краката му.

Как се намира обемът на конус - основни понятия

Преди да започнете да изчислявате обема на конус, трябва да се запознаете с основните понятия.

• Кръгъл конус - основата на такъв конус е кръг. Ако основата е елипса, парабола или хипербола, тогава фигурите се наричат ​​елиптични, параболични или хиперболични конуси. Струва си да се помни, че последните два вида конуси имат безкраен обем.
• Пресечен конус е част от конус, разположена между основата и равнина, успоредна на тази основа, разположена между върха и основата.
• Височината е сегмент, перпендикулярен на основата, освободен от върха.
• Образуващата на конус е сегмент, който свързва границата на основата и върха.

Конусен обем

За изчисляване на обема на конус се използва формулата V=1/3*S*H, където S е основната площ, H е височината. Тъй като основата на конуса е кръг, неговата площ се намира по формулата S= nR^2, където n = 3,14, R е радиусът на кръга.

Има ситуация, когато някои от параметрите са неизвестни: височина, радиус или образуваща. В този случай си струва да се прибегне до теоремата на Питагор. Аксиалното сечение на конуса е равнобедрен триъгълник, състоящ се от два правоъгълни триъгълника, където l е хипотенузата, а H и R са катетите. Тогава l=(H^2+R^2)^1/2.

Обем на пресечен конус

Пресеченият конус е конус с отрязан връх.

За да намерите обема на такъв конус, имате нужда от формулата:

V=1/3*n*H*(r^2+rR+R^2),

където n=3,14, r е радиусът на секционната окръжност, R е радиусът на голямата основа, H е височината.

Аксиалното сечение на пресечения конус ще бъде равнобедрен трапец. Следователно, ако е необходимо да се намери дължината на генератора на конус или радиуса на една от окръжностите, струва си да използвате формули за намиране на страните и основите на трапец.

Намерете обема на конус, ако височината му е 8 cm и радиусът на основата е 3 cm.

Дадено: H=8 см, R=3 см.

Първо, намерете площта на основата, като приложите формулата S=nR^2.

S=3,14*3^2=28,26cm^2

Сега, използвайки формулата V=1/3*S*H, намираме обема на конуса.

V=1/3*28.26*8=75.36cm^3

Конусовидни фигури се срещат навсякъде: конуси за паркиране, строителни кули, абажур. Следователно знанието как да намерите обема на конус понякога може да бъде полезно както в професионалния, така и в ежедневния живот.

Дефиниция на пресечен конус

Пресечен конус може да се получи от обикновен конус, ако такъв конус се пресече от равнина, успоредна на основата. Тогава фигурата, която е между две равнини (тази равнина и основата на обикновен конус), ще се нарича пресечен конус.

Той има две бази, които за кръгъл конус са окръжности, като едната от тях е по-голяма от другата. Пресеченият конус също има височина- сегмент, свързващ две основи и перпендикулярен на всяка от тях.

Онлайн калкулатор

Пресеченият конус може да бъде директен, тогава центърът на едната основа се проектира в центъра на втората. Ако конусът наклонен, тогава такава проекция не се осъществява.

Да разгледаме прав кръгъл конус. Обемът на тази фигура може да се изчисли по няколко начина.

Формулата за обема на пресечен конус по отношение на радиусите на основите и разстоянието между тях

Ако ни е даден кръгъл пресечен конус, тогава можем да намерим обема му по формулата:

V = 1 3 ⋅ π ⋅ h ⋅ (r 1 2 + r 1 ⋅ r 2 + r 2 2) V=\frac(1)(3)\cdot\pi\cdot h\cdot(r_1^2+r_1\ cdot r_2+r_2^2)V =3 1 ​ ⋅ π ⋅ h ⋅(r 1 2 ​ + r 1 ​ ⋅ r 2 ​ + r 2 2 ​ )

R 1, r 2 r_1, r_2 r 1 ​ , r 2 ​ - радиуси на основите на конуса;
ч ч ч- разстоянието между тези основи (височината на пресечения конус).

Помислете за пример.

Намерете обема на пресечен конус, ако е известно, че площта на малката основа е 64 π cm 2 64\pi\text( cm)^26 4 пи см2 , голям - 169 π cm 2 169\pi\text( cm)^21 6 9 см2 , а височината му е 14 см 14\текст (см) 1 4 см.

Решение

S 1 \u003d 64 π S_1 \u003d 64 \ pi С 1 ​ = 6 4 пи
S 2 \u003d 169 π S_2 \u003d 169 \ pi С 2 ​ = 1 6 9
h=14 h=14 h =1 4

Намерете радиуса на малката основа:

S 1 = π ⋅ r 1 2 S_1=\pi\cdot r_1^2С 1 ​ = π ⋅ r 1 2 ​

64 π = π ⋅ r 1 2 64\pi=\pi\cdot r_1^26 4 π =π ⋅ r 1 2 ​

64=r 1 2 64=r_1^2 6 4 = r 1 2 ​

R1=8 r_1=8 r 1 ​ = 8

По същия начин за голямата база:

S 2 = π ⋅ r 2 2 S_2=\pi\cdot r_2^2С 2 ​ = π ⋅ r 2 2 ​

169 π = π ⋅ r 2 2 169\pi=\pi\cdot r_2^21 6 9π ⋅ r 2 2 ​

169=r 2 2 169=r_2^2 1 6 9 = r 2 2 ​

R2=13 r_2=13 r 2 ​ = 1 3

Изчислете обема на конуса:

V = 1 3 ⋅ π ⋅ h ⋅ (r 1 2 + r 1 ⋅ r 2 + r 2 2) = 1 3 ⋅ π ⋅ 14 ⋅ (8 2 + 8 ⋅ 13 + 1 3 2) ≈ 4938 cm 3 V= \frac(1)(3)\cdot\pi\cdot h\cdot (r_1^2+r_1\cdot r_2+r_2^2)=\frac(1)(3)\cdot\pi\cdot14\cdot(8 ^2+8\cdot 13+13^2)\приблизително 4938\текст( cm)^3V =3 1 ​ ⋅ π ⋅ h ⋅(r 1 2 ​ + r 1 ​ ⋅ r 2 ​ + r 2 2 ​ ) = 3 1 ​ ⋅ π ⋅ 1 4 ⋅ (8 2 + 8 ⋅ 1 3 + 1 3 2 ) ≈ 4 9 3 8 см3

Отговор

4938 cm3. 4938\текст(см)^3.4 9 3 8 см3 .

Формулата за обема на пресечен конус по отношение на площите на основите и тяхното разстояние до върха

Да кажем, че имаме пресечен конус. Мислено добавете липсващото парче към него, като по този начин го направите „нормален конус“ с връх. Тогава обемът на пресечен конус може да се намери като разликата между обемите на два конуса със съответните основи и тяхното разстояние (височина) до върха на конуса.

V = 1 3 ⋅ S ⋅ H − 1 3 ⋅ s ⋅ h = 1 3 ⋅ (S ⋅ H − s ⋅ h) V=\frac(1)(3)\cdot S\cdot H-\frac(1) (3)\cdot s\cdot h=\frac(1)(3)\cdot (S\cdot H-s\cdot h)V =3 1 ​ ⋅ S ⋅Н-3 1 ​ ⋅ s⋅h =3 1 ​ ⋅ (S ⋅Н-s⋅з)

S S Се площта на основата на големия конус;
H H зе височината на този (голям) конус;
s s с- площ на основата на малкия конус;
ч ч ч- височината на този (малък) конус;

Определете обема на пресечения конус, ако височината на пълния конус е H H зе равно на 10 см 10\текст (см) 1 0 см, радиус на долната основа Р РР - 5 см 5\текст (см)5 см, Горна част r rr - 4 cm 4\текст (cm)4 см, а височината на пресечения конус е 8 см 8\текст (см)8 см.

Решение

R=5 R=5Р= 5
r=4 r=4r= 4
H=10 H=10з= 1 0
H − h = 8 H-h=8з− ч= 8 ,
Където ч чче височината на малкия конус.

Намерете площта на двете основи на конуса:

$С=\pi \cdot {Р}^{2=\pi \cdot 5^{2\approx 78.5}}$

$с=\pi \cdot r^{2=\pi \cdot 4^{2\approx 50.24}}$

Намерете височината на малкия конус ч чч:

$з-ч=8$

$ч=з-8$

$ч=10-8$

$ч=2$

Обемът е равен на формулата:

$V=31\cdot (С\cdot з-с\cdot ч)\approx 31\cdot (78.5\cdot 10-50.24\cdot 2)\approx 228\text{см3}$

Отговор

$228\text{см3 .}$

В геометрията пресечен конус е тяло, образувано от въртенето на правоъгълен трапец около страната му, която е перпендикулярна на основата. Как изчисляват обем на пресечен конус, всеки знае от училищния курс по геометрия и на практика тези знания често се използват от дизайнери на различни машини и механизми, разработчици на някои потребителски стоки, както и архитекти.

Изчисляване на обема на пресечен конус

Формулата за изчисляване на обема на пресечен конус

Обемът на пресечен конус се изчислява по формулата:

ч- височина на конуса

r- радиус на горната основа

Р- радиус на долната основа

V- обем на пресечения конус

π - 3,14

С такива геометрични тела като пресечени конуси, в ежедневието всеки се сблъсква доста често, ако не и постоянно. Формата им има голямо разнообразие от съдове, широко използвани в ежедневието: кофи, чаши, някои чаши. От само себе си се разбира, че дизайнерите, които са ги разработили, трябва да са използвали формула, която изчислява обем на пресечен конус, тъй като тази стойност е много важна в този случай, тъй като определя такава важна характеристика като капацитета на продукта.

Инженерни конструкции, които са пресечени конуси, често може да се види в големи промишлени предприятия, както и в топлинни и атомни електроцентрали. Именно тази форма имат охладителните кули - устройства, предназначени да охлаждат големи обеми вода чрез принудително противодействие на атмосферния въздух. Най-често тези конструкции се използват в случаите, когато е необходимо значително да се намали температурата на голямо количество течност за кратко време. Разработчиците на тези структури трябва да определят обем на пресечен конусформулата за изчисляване, която е доста проста и известна на всички, които някога са учили добре в гимназията.

Детайли с тази геометрична форма често се срещат в дизайна на различни технически устройства. Например зъбните колела, използвани в системи, където се изисква промяна на посоката на кинетичната трансмисия, най-често се изпълняват с конусни зъбни колела. Тези части са неразделна част от голямо разнообразие от скоростни кутии, както и автоматични и ръчни скоростни кутии, използвани в съвременните автомобили.

Формата на пресечен конус има някои режещи инструменти, които се използват широко в производството, например фрези. С тяхна помощ можете да обработвате наклонени повърхности под определен ъгъл. За заточване на фрези на металообработващо и дървообработващо оборудване често се използват абразивни колела, които също са пресечени конуси. Освен това, обем на пресечен конуснеобходимо е да се определят конструкторите на стругови и фрезови машини, които включват закрепване на режещ инструмент, оборудван със заострени стебла (свредла, райбери и др.).