Тази статия е за геометрична фигура . За други значения на думата вижте страницата Квадрат (значения). Квадрат Квадратът е правилен четириъгълник. Свойства Квадратът може да се дефинира като правоъгълник, в който две съседни страни са равни на ромб, y... ... Wikipedia

Правилен седмоъгълник Правилен многоъгълник е изпъкнал многоъгълник, в който всички страни и ъгли са равни. Дефиницията на правилен многоъгълник може да зависи от дефиницията на... Wikipedia

Правилният седмоъгълник е правилен многоъгълник със седем страни. Съдържание... Уикипедия

Правилен десетоъгълник е геометрична фигура, принадлежаща към групата на правилните многоъгълници. Той има седемнадесет страни и седемнадесет ъгъла, всичките му ъгли и страни са равни един на друг, всички върхове лежат на една и съща окръжност. Съдържание 1... ...Уикипедия

65537 квадрат или кръг? Правилен 65537 триъгълник (шестдесет и пет хиляди петстотин тридесет и седем) геометрична фигура от група правилни многоъгълници, състояща се от 65537 ... Wikipedia

257 квадрат или кръг? Правилен 257 триъгълник е правилен многоъгълник с 257 страни. Съдържание... Уикипедия

правилно- коригирам/поправям, о; лен, лен, лен. Вижте също коректност 1) а) Съответства на установените правила, без да се отклонява от съществуващите правила, норми, ред. P oe произношение, правопис. P-то физическо развитие на детето. Без разпространение...... Речник на много изрази

I. ПРАВИЛНО о, о; лен, лен, лен. 1. Съобразен с установените правила, без да се отклонява от съществуващите правила, норми, ред. P oe произношение, правопис. P-то физическо развитие на детето. P e r разпределение на енергийните ресурси. Той е човек…… енциклопедичен речник

В тази статия ще разгледаме всички основни свойства и характеристики на четириъгълниците.

Като начало ще подредя всички видове четириъгълници под формата на такава обобщена диаграма:

Диаграмата е забележителна с това, че четириъгълниците във всеки ред имат ВСИЧКИ СВОЙСТВА НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИЦИТЕ, РАЗПОЛОЖЕНИ НАД ТЯХ. Следователно трябва да запомните много малко.

Трапеце четириъгълник, две страни на който са успоредни, а другите две не са успоредни. Паралелни страни се наричат трапецовидни основи, не успоредни - страни.

1 . В трапеца сбор от ъглите, съседни на странаравен на 180°: A+B=180°, C+D=180°

2 . Симетрала на произволен ъгъл на трапецотрязва в основата си сегмент, равен на страната:

3. Симетралите на съседни ъгли на трапец се пресичат под прав ъгъл.

4 .Трапецът се нарича равнобедрен, ако страните му са равни:

В равнобедрен трапец

5. Площ на трапецравно на произведението на половината от сбора на основите и височината:

Успоредник е четириъгълник, чиито срещуположни страни са успоредни по двойки: В успоредник:

• противоположните страни и противоположните ъгли са равни
• Диагоналите на успоредник се разделят наполовина от тяхната пресечна точка:

Съответно, ако четириъгълникът има тези свойства, тогава той е успоредник.

Площ на успоредникравно на произведението на основата и височината:

или произведението на страните и синуса на ъгъла между тях:

:

Ромбе успоредник, в който всички страни са равни:

• противоположните ъгли са равни
• диагоналите са разделени наполовина от тяхната пресечна точка
  
• диагоналите са взаимно перпендикулярни
  
• Диагоналите на ромба са ъглополовящи на ъглите

Площ на ромбравно на половината от произведението на диагоналите:

или произведението на квадрата на страната и синуса на ъгъла между страните:

Днес ще разгледаме геометрична фигура - четириъгълник. От името на тази фигура вече става ясно, че тази фигура има четири ъгъла. Но ние ще разгледаме останалите характеристики и свойства на тази фигура по-долу.

Какво е четириъгълник

Четириъгълникът е многоъгълник, състоящ се от четири точки (върхове) и четири сегмента (страни), свързващи тези точки по двойки. Площта на четириъгълника е равна на половината от произведението на неговите диагонали и ъгъла между тях.

Четириъгълникът е многоъгълник с четири върха, три от които не лежат на права линия.

Видове четириъгълници

• Четириъгълник, чиито срещуположни страни са успоредни по две, се нарича успоредник.
• Четириъгълник, в който две срещуположни страни са успоредни, а другите две не са, се нарича трапец.
• Четириъгълник с всички прави ъгли е правоъгълник.
• Четириъгълник с равни страни е ромб.
• Четириъгълник, в който всички страни са равни и всички ъгли са прави, се нарича квадрат.

Четириъгълникът може да бъде:

Самопресичащи се

Неконвексен

Изпъкнал

Самопресичащ се четириъгълнике четириъгълник, в който всяка от страните му има пресечна точка (в синьо на фигурата).

Неизпъкнал четириъгълнике четириъгълник, в който един от вътрешните ъгли е повече от 180 градуса (посочен в оранжево на фигурата).

Сума от ъгливсеки четириъгълник, който не се пресича сам, винаги е равен на 360 градуса.

Специални видове четириъгълници

Четириъгълниците могат да имат допълнителни свойства, образувайки специални видове геометрични фигури:

• Успоредник
• Правоъгълник
• Квадрат
• Трапец
• Делтоид
• Контрауспоредник

Четириъгълник и кръг

Четириъгълник, описан около окръжност (окръжност, вписана в четириъгълник).

Основното свойство на описания четириъгълник:

Четириъгълник може да бъде описан около окръжност тогава и само ако сумите от дължините на срещуположните страни са равни.

Четириъгълник, вписан в окръжност (окръжност, описана около четириъгълник)

Основното свойство на вписан четириъгълник:

Четириъгълник може да бъде вписан в окръжност тогава и само ако сборът от противоположните му ъгли е равен на 180 градуса.

Свойства на дължините на страните на четириъгълник

Модул на разликата между произволни две страни на четириъгълникне надвишава сумата от другите му две страни.

|a - b| ≤ c + d

|a - c| ≤ b + d

|a - d| ≤ b + c

|b - c| ≤ a + d

|b - d| ≤ a + b

|c - d| ≤ a + b

важно. Неравенството е вярно за всяка комбинация от страни на четириъгълник. Чертежът е предоставен единствено за по-лесно възприемане.

Във всеки четириъгълник сборът от дължините на трите му страни е не по-малък от дължината на четвъртата страна.

важно. Когато решавате проблеми в рамките на училищната програма, можете да използвате строго неравенство (<). Равенство достигается только в случае, если четырехугольник является "вырожденным", то есть три его точки лежат на одной прямой. То есть эта ситуация не попадает под классическое определение четырехугольника.

В училищната програма в уроците по геометрия трябва да се занимавате с различни видове четириъгълници: ромби, паралелограми, правоъгълници, трапеци, квадрати. Първите форми за изучаване са правоъгълникът и квадратът.

И така, какво е правоъгълник? Дефиницията за 2-ри клас на средно училище ще изглежда така: това е четириъгълник с всички четири ъгъла прави. Лесно е да си представите как изглежда правоъгълникът: това е фигура с 4 прави ъгъла и страни, успоредни една на друга по двойки.

Във връзка с

Как можем да разберем, когато решаваме друга геометрична задача, с кой четириъгълник имаме работа? Има три основни признака, по което безпогрешно може да се определи, че говорим за правоъгълник. Да ги наречем:

• фигурата е четириъгълник, чиито три ъгъла са равни на 90°;
• представеният четириъгълник е успоредник с равни диагонали;
• успоредник, който има поне един прав ъгъл.

Интересно е да знаете: какво е изпъкнал, неговите характеристики и симптоми.

Тъй като правоъгълникът е успоредник (т.е. четириъгълник с двойки успоредни противоположни страни), тогава всички негови свойства и характеристики ще бъдат изпълнени за него.

Формули за изчисляване на дължини на страни

В правоъгълникпротивоположните страни са равни и взаимно успоредни. По-дългата страна обикновено се нарича дължина (означена с a), по-късата страна се нарича ширина (обозначена с b). В правоъгълника на изображението дължините са страните AB и CD, а широчините са AC и B. D. Те също са перпендикулярни на основите (т.е. те са височините).

За да намерите страните, можете да използвате формулите по-долу. Те използват следните конвенции: a - дължината на правоъгълника, b - неговата ширина, d - диагоналът (сегмент, свързващ върховете на два ъгъла, разположени един срещу друг), S - площта на фигурата, P - периметърът, α - ъгълът между диагонала и дължината, β е остър ъгъл, образуван от двата диагонала. Методи за намиране на дължините на страните:

• Използване на диагонал и известна страна: a = √(d² - b²), b = √(d² - a²).
• Въз основа на площта на фигурата и една от нейните страни: a = S / b, b = S / a.
• Използване на периметъра и известната страна: a = (P - 2 b) / 2, b = (P - 2 a) / 2.
• През диагонала и ъгъла между него и дължината: a = d sinα, b = d cosα.
• През диагонала и ъгъл β: a = d sin 0,5 β, b = d cos 0,5 β.

Периметър и площ

Периметърът на четириъгълник се наричасумата от дължините на всичките му страни. За изчисляване на периметъра могат да се използват следните формули:

• През двете страни: P = 2 (a + b).
• През областта и една от страните: P = (2S + 2a²) / a, P = (2S + 2b²) / b.

Площта е пространството, оградено от периметър. Три основни начина за изчисляване на площта:

• През дължините на двете страни: S = a*b.
• Използвайки периметъра и която и да е известна страна: S = (Pa - 2 a²) / 2; S = (Pb - 2 b²) / 2.
• Диагонал и ъгъл β: S = 0,5 d² sinβ.

Проблемите в училищен курс по математика често изискват добро владеене на свойства на диагоналите на правоъгълник. Изброяваме основните:

1. Диагоналите са равни един на друг и се разделят на две равни отсечки в точката на тяхното пресичане.
2. Диагоналът се определя като корен от сумата на двете страни на квадрат (следва от Питагоровата теорема).
3. Диагоналът разделя правоъгълник на два правоъгълни триъгълника.
4. Пресечната точка съвпада с центъра на описаната окръжност, а самите диагонали съвпадат с нейния диаметър.

За изчисляване на дължината на диагонала се използват следните формули:

• Използвайки дължината и ширината на фигурата: d = √(a² + b²).
• Използвайки радиуса на окръжност, описана около четириъгълник: d = 2 R.

Определение и свойства на квадрат

Квадратът е специален случай на ромб, паралелограм или правоъгълник. Разликата му от тези фигури е, че всичките му ъгли са прави и четирите страни са равни. Квадратът е правилен четириъгълник.

Четириъгълник се нарича квадрат в следните случаи:

1. Ако това е правоъгълник, чиято дължина a и ширина b са равни.
2. Ако е ромб с равни дължини на диагонали и четири прави ъгъла.

Свойствата на квадрат включват всички обсъдени по-рано свойства, свързани с правоъгълник, както и следното:

1. Диагоналите са перпендикулярни един на друг (свойство на ромба).
2. Пресечната точка съвпада с центъра на вписаната окръжност.
3. Двата диагонала разделят четириъгълника на четири равни правоъгълни и равнобедрени триъгълника.

Ето кои са често използваните формули за изчисления на периметър, площ и квадратни елементи:

• Диагонал d = a √2.
• Периметър P = 4 a.
• Площ S = a².
• Радиусът на описаната окръжност е половината от диагонала: R = 0,5 a √2.
• Радиусът на вписаната окръжност се определя като половината от дължината на страната: r = a / 2.

Примерни въпроси и задачи

Нека да разгледаме някои въпроси, които може да срещнете, когато изучавате курс по математика в училище, и да решим няколко прости задачи.

Проблем 1. Как ще се промени площта на правоъгълник, ако дължината на страните му се утрои?

Решение : Нека означим площта на оригиналната фигура като S0, а площта на четириъгълник с утроена дължина на страните като S1. Използвайки формулата, обсъдена по-рано, получаваме: S0 = ab. Сега нека увеличим дължината и ширината с 3 пъти и напишем: S1= 3 a 3 b = 9 ab. Сравнявайки S0 и S1, става очевидно, че втората област е 9 пъти по-голяма от първата.

Въпрос 1. Квадрат ли е четириъгълник с прави ъгли?

Решение : От определението следва, че фигура с прави ъгли е квадрат само ако дължините на всичките й страни са равни. В други случаи фигурата е правоъгълник.

Проблем 2. Диагоналите на правоъгълник образуват ъгъл от 60 градуса. Ширината на правоъгълника е 8. Пресметнете колко е диагоналът.

Решение:Спомнете си, че диагоналите са разделени наполовина от точката на пресичане. Така имаме работа с равнобедрен триъгълник с ъгъл при върха 60°. Тъй като триъгълникът е равнобедрен, ъглите в основата също ще бъдат еднакви. Чрез прости изчисления намираме, че всеки от тях е равен на 60°. От това следва, че триъгълникът е равностранен. Знаемата ни ширина е основата на триъгълника, следователно половината от диагонала също е равна на 8, а дължината на целия диагонал е два пъти по-голяма и равна на 16.

Въпрос 2. Правоъгълникът има ли всички страни равни или не?

Решение : Достатъчно е да запомните, че всички страни трябва да са равни в квадрат, който е специален случай на правоъгълник. Във всички останали случаи достатъчно условие е наличието на поне 3 прави ъгъла. Равенството на страните не е задължителен признак.

Проблем 3. Площта на квадрата е известна и равна на 289. Намерете радиусите на вписаната и описаната окръжност.

Решение : Използвайки формулите за квадрат, ще извършим следните изчисления:

• Да определим на какво са равни основните елементи на квадрата: a = √ S = √289 = 17; d = a √2 =1 7√2.
• Нека изчислим радиуса на окръжността, описана около четириъгълника: R = 0,5 d = 8,5√2.
• Нека намерим радиуса на вписаната окръжност: r = a / 2 = 17 / 2 = 8,5.

Определение.Успоредникът е четириъгълник, чиито противоположни страни са успоредни по двойки.

Имот.В успоредник противоположните страни са равни и срещуположните ъгли са равни.

Имот.Диагоналите на успоредника са разделени наполовина от пресечната точка.

1 знак на успоредник.Ако две страни на четириъгълник са равни и успоредни, тогава четириъгълникът е успоредник.

2 знак на успоредник.Ако в четириъгълник срещуположните страни са равни по две, то този четириъгълник е успоредник.

3 знак на успоредник.Ако диагоналите на четириъгълник се пресичат и се разделят на две от точката на пресичане, тогава четириъгълникът е успоредник.

Определение.Трапецът е четириъгълник, в който две страни са успоредни, а другите две страни не са успоредни. Паралелни страни се наричат причини.

Трапецът се нарича равнобедрен (равностранен), ако страните му са равни. В равнобедрен трапец ъглите при основите са равни.

Нар. трапец, единият от ъглите на който е прав правоъгълен.

Сегментът, свързващ средите на страните, се нарича средна линия на трапец. Средната линия е успоредна на основите и е равна на тяхната полусума.

Определение.Правоъгълникът е успоредник, чиито ъгли са прави.

Имот.Диагоналите на правоъгълник са равни.

Правоъгълен знак.Ако диагоналите на един успоредник са равни, то този успоредник е правоъгълник.

Определение.Ромбът е успоредник, в който всички страни са равни.

Имот.Диагоналите на ромба са взаимно перпендикулярни и разполовяват неговите ъгли.

Определение.Квадратът е правоъгълник, чиито страни са равни.

Квадратът е специален вид правоъгълник, както и специален вид ромб. Следователно има всичките им свойства.

Имоти:
1. Всички ъгли на квадрат са прави

2. Диагоналите на квадрата са равни, взаимно перпендикулярни, пресечната точка разполовява и разполовява ъглите на квадрата.