Определение 1

Числовият ред $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $, чиито членове имат произволни знаци (+), (?), се нарича редуващ се ред.

Алтернативните серии, обсъдени по-горе, са специален случай на редуващи се серии; Ясно е, че не всяка редуваща се серия е редуваща се. Например серията $1-\frac(1)(2) -\frac(1)(3) +\frac(1)(4) +\frac(1)(5) -\frac(1)(6 ) - \frac(1)(7) +\ldots - $ редуващи се, но не редуващи се серии.

Обърнете внимание, че в една редуваща се серия има безкрайно много членове както със знак (+), така и със знак (-). Ако това не е вярно, например, серията съдържа краен брой отрицателни членове, тогава те могат да бъдат отхвърлени и може да се разглежда серия, съставена само от положителни членове, и обратно.

Определение 2

Ако числовата поредица $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ се сближава и нейната сума е равна на S, а частичната сума е равна на $S_n$, тогава $r_(n ) =S-S_( n) $ се нарича остатък от серията, а $\mathop(\lim )\limits_(n\to \infty) r_(n) =\mathop(\lim )\limits_(n\ до \infty ) (S-S_(n ))=S-S=0$, т.е. остатъкът от конвергентния ред клони към 0.

Определение 3

Серията $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ се нарича абсолютно конвергентна, ако серията е съставена от абсолютните стойности на нейните членове $\sum \limits _(n=1 )^(\ infty )\left|u_(n) \right| $.

Определение 4

Ако редицата от числа $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ се сближава и серията $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\left|u_ (n )\десен| $, съставен от абсолютните стойности на неговите членове, се разминава, тогава първоначалната серия се нарича условно (не абсолютно) конвергентна.

Теорема 1 (достатъчен критерий за сходимост на редуващи се редове)

Променлив ред $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ се сближава и абсолютно, ако редът, съставен от абсолютните стойности на неговите членове, се сближава $\sum \limits _( n=1)^ (\infty )\left|u_(n) \right| $.

Коментирайте

Теорема 1 предоставя само достатъчно условие за сходимост на редуващи се редове. Обратната теорема не е вярна, т.е. ако променливата серия $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ се сближава, тогава не е необходимо серията, съставена от модулите $\sum \limits _(n=1) ^( \infty )\left|u_(n) \right| $ (може да бъде или конвергентен, или дивергентен). Например серията $1-\frac(1)(2) +\frac(1)(3) -\frac(1)(4) +...=\sum \limits _(n=1)^( \infty )\frac((-1)^(n-1) )(n) $ се сближава според критерия на Лайбниц и серията, съставена от абсолютните стойности на неговите членове $\sum \limits _(n=1 )^(\infty ) \, \frac(1)(n) $ (хармонична серия) се разминава.

Имот 1

Ако серията $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ е абсолютно конвергентна, тогава тя се сближава абсолютно за всяко пермутиране на нейните членове и сумата на серията не зависи от ред на термините. Ако $S"$ е сумата от всички негови положителни членове, а $S""$ е сумата от всички абсолютни стойности на отрицателните членове, тогава сумата от серията $\sum \limits _(n=1) ^(\infty )u_(n) $ е равно на $S=S"-S""$.

Имот 2

Ако серията $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ е абсолютно сходна и $C=(\rm const)$, тогава серията $\sum \limits _(n= 1)^ (\infty )C\cdot u_(n) $ също е абсолютно конвергентен.

Имот 3

Ако серията $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ и $\sum \limits _(n=1)^(\infty )v_(n) $ са абсолютно сходни, тогава сериите $\sum \limits _(n=1)^(\infty )(u_(n) \pm v_(n)) $ също са абсолютно сходни.

Свойство 4 (теорема на Риман)

Ако редицата е условно сходяща се, тогава без значение какво число А вземем, можем да пренаредим членовете на тази редица така, че нейната сума да се окаже точно равна на А; Освен това е възможно да се пренаредят членовете на условно конвергентен ред, така че след това той да се разминава.

Пример 1

Разгледайте серията за условна и абсолютна конвергенция

\[\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot 9^(n) )(n .\] !}

Решение. Тази серия е редуваща се, чийто общ член ще бъде означен с: $\frac((-1)^(n) \cdot 9^(n) )(n =u_{n} $. Составим ряд из абсолютных величин $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ и применим к нему признак Даламбера. Составим предел $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } $, где $a_{n} =\frac{9^{n} }{n!} $, $a_{n+1} =\frac{9^{n+1} }{(n+1)!} $. Проведя преобразования, получаем $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n+1} \cdot n!}{(n+1)!\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n} \cdot 9\cdot n!}{n!\cdot (n+1)\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9}{n+1} =0$. Таким образом, ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ сходится, а значит, исходный знакопеременный ряд сходится абсолютно.Ответ: ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n} \cdot 9^{n} }{n!} $ абсолютно сходится.!}

Пример 2

Разгледайте серията $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) $ за абсолютна и условна конвергенция.

1. Нека разгледаме серията за абсолютна конвергенция. Нека обозначим $\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) =u_(n) $ и съставим поредица от абсолютни стойности $a_(n) =\ ляво|u_(n) \right|=\frac(\sqrt(n))(n+1) $. Получаваме серията $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\left|u_(n) \right| =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(\sqrt(n) )(n+1) $ с положителни членове, към които прилагаме граничния тест за сравняване на серии. За сравнение със серията $\sum \limits _(n=1)^(\infty )a_(n) =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(\sqrt(n ) )(n+1) $ разгледайте серия, която има формата $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, b_(n) =\sum \limits _(n=1)^( \infty )\, \frac(1)(\sqrt(n) ) \, $. Този ред е ред на Дирихле с показател $p=\frac(1)(2)
2. След това разглеждаме оригиналната серия $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) $ за условно конвергенция. За целта проверяваме изпълнението на условията на теста на Лайбниц. Условие 1): $u_(n) =(-1)^(n) \cdot a_(n) $, където $a_(n) =\frac(\sqrt(n) )(n+1) >0$ , т.е. тази серия се редува. За да проверим условие 2) за монотонното намаляване на членовете на реда, използваме следния метод. Разгледайте спомагателната функция $f(x)=\frac(\sqrt(x) )(x+1) $ дефинирана в $x\in )