Лекция 8. Энергия электрического поля

Понятие энергии электрического поля неразрывно связано с понятиями её накопления и расходования. Отсюда следует, что должны быть рассмотрены и накопители этой энергии – электрические конденсаторы. Существенно при этом понимание школьниками, насколько большая энергия может быть сосредоточена в сравнительно небольшом объёме современного конденсатора. Особую значимость имеют эксперименты, показывающие, в каких процессах эта энергия может быть использована для практических нужд.

Изучение электрической ёмкости и конденсаторов позволяет сопоставить примитивные, но принципиально важные методы электростатики с возможностями современных электроизмерительных приборов. К ним, в частности, относятся широко распространённые в быту цифровые мультиметры, позволяющие измерять ёмкости от единиц пикофарад. Поэтому можно сначала оценивать ёмкость и диэлектрическую проницаемостьметодами электростатики, а затем более точно измерять эти величины с помощью мультиметра.

Интересной методической проблемой является обоснование целесообразности введения понятия электроёмкости уединённого проводника и разработка оптимальной методики формирования этого понятия.

Сформировать понятие энергии электрического поля в полном объёме на уроках физики вряд ли удастся. Поэтому в классах профильного обучения необходимы внеурочные исследования учащихся.

8.1. Электроёмкость уединённого проводника

Выполняя исследования, учащиеся, конечно, заметили, что проводники могут накапливать и сохранять электрические заряды. Это свойство проводников характеризуется электрической ёмкостью. Выясним, как зависит потенциал уединённого проводника от его заряда. Потенциал можно измерять относительно бесконечно удалённой точки. На практике удобнее измерять потенциалы заряженных тел относительно земли.

На стержень электрометра наденем полый проводящий шар, и корпус электрометра соединим с заземлением. Электрометр будем использовать в качестве электростатического вольт-метра, измеряющего потенциал шара относительно земли или, что то же самое, разность потенциалов между шаром и землёй.

Пробным шариком, прикоснувшись к кондуктору источника электричества, перенесём внутрь шара некоторый заряд q . Стрелка электростатического вольтметра отклонится, показывая определённый потенциал . Повторим опыт, сообщая полому шару заряды 2q , 3q ... Обнаруживаем, что стрелка вольтметра отклоняется, показывая значения 2, 3...

Таким образом, отношение заряда Q проводящего тела к его потенциалу остаётся постоянным и характеризует электроёмкость проводника:

Заменим полый шар электрометра другим, например, меньшего размера, и повторим опыт. Наблюдаем, что при сообщении ему тех же зарядов q , 2q , 3q , ... вольтметр показывает значения, растущие пропорционально заряду, но бльшие, чем в предыдущей серии опытов. Значит, ёмкость C = Q / этого шара меньше.

В системе СИ электрическая ёмкость выражается в фарадах : 1 Ф = 1 Кл/1 В.

8.2. Электроёмкость сферического проводника

Пусть в среде с диэлектрической проницаемостью находится сферический проводник радиусом R . Если потенциал в бесконечности считать равным нулю, то потенциал заряженной сферы

Тогда электрическая ёмкость сферы радиусом R есть Таким образом, ёмкость уединённого проводящего шара пропорциональна его радиусу.

Простые опыты показывают, что тела, несущие электрический заряд, можно считать уединёнными в том случае, если окружающие тела не вызывают значительного перераспределения заряда на них.

8.3. Конденсатор

Изготовим конденсатор из двух одинаковых проводящих пластин, расположенных параллельно, и соединим его с электрометром, выполняющим функцию вольтметра. На стержень электрометра насадим полую проводящую сферу. Зарядим одну из пластин пробным шариком, перенеся им заряд q с наэлектризованной эбонитовой палочки или иного источника электричества. При этом вольтметр покажет некоторое напряжение U между пластинами.

Будем переносить внутрь полой сферы, а значит, и на пластину конденсатора равные заряды. При этом увидим, что показания вольтметра увеличиваются на равные значения. Значит, система двух проводящих пластин обладает ёмкостью

и может выполнять функцию конденсатора – накопителя электрического заряда. Подчеркнём, что здесь q – заряд одной из пластин конденсатора.

8.4. Ёмкость плоского конденсатора

Вычислим теоретически электрическую ёмкость плоского конденсатора. Напряжён ность поля, создаваемого одной из его пластин где – поверхностная плотность заряда на пластине. Согласно принципу суперпозиции напряжённость электрического поля между пластинами конденсатора в два раза больше (см. исследование 5.7):

Так как поле однородное, то разность потенциалов между пластинами, расположенными на расстоянии d друг от друга, равна Отсюда ёмкость плоского конденсатора есть :

Подтвердим теорию экспериментом. Для этого соберём плоский конденсатор, зарядим его и соединим пластины с электростатическим вольтметром. Оставив заряд конденсатора неизменным, будем менять остальные его параметры, наблюдая за вольтметром, показания которого обратно пропорциональны ёмкости конденсатора:

Увеличение расстояния d между пластинами конденсатора ведёт к пропорциональному увеличению напряжения между ними, значит, ёмкость конденсатора С ~ 1/d . Смещая пластины друг относительно друга так, чтобы они оставались параллельными, будем увеличивать площадь перекрытия пластин S . При этом в той же степени уменьшается напряжение между ними, т.е. растёт ёмкость конденсатора: С ~ S . Заполним промежуток между пластинами диэлектриком с диэлектрической проницаемостью и увидим, что показания вольтметра уменьшатся в раз, т.е. С ~ .

Так как заряд системы оставался неизменным, то можно сделать вывод, что ёмкость конденсатора прямо пропорциональна площади перекрытия пластин, обратно пропорциональна расстоянию между ними и зависит от свойств среды, т.е. С ~ S /d , что и подтверждает формулу (8.2). Значение электрической постоянной 0 получаем, измерив в опытах U , q , d , S , и вычислив ёмкость один раз по формуле (8.1), а другой – по формуле (8.2).

8.5. Параллельное соединение конденсаторов

При параллельном соединении двух конденсаторов ёмкостями С 1 и С 2 напряжения на них одинаковы и равны U , а заряды q 1 и q 2 различны. Понятно, что общий заряд батареи равен сумме зарядов конденсаторов q = q 1 + q 2 , а её ёмкость:

(8.3)

8.6. Последовательное соединение конденсаторов

К батарее из двух последовательно соединённых конденсаторов подключим электростатический вольтметр с полой сферой. Сообщим соединённой с вольтметром обкладке первого конденсатора заряд +q . По индукции вторая обкладка этого конденсатора приобретёт заряд –q , а соединённая с ней проводником обкладка второго конденсатора – заряд +q . В результате оба конденсатора будут нести одинаковый заряд q . При этом напряжения на конденсаторах различны. Понятно, что сумма напряжений на каждом из конденсаторов равна общему напряжению батареи:

Но U = q /С , U 1 = q /С 1 , U 2 = q /С 2 , поэтому ёмкость батареи определяется формулой

8.7. Энергия плоского конденсатора

Сообщим одной из пластин плоского конденсатора заряд q такой величины, чтобы разность потенциалов между пластинами стала равна U . Если расстояние между пластинами d , то напряжённость электрического поля в конденсаторе Е = U /d .

Одна из пластин конденсатора с зарядом q находится в созданном второй пластиной однородном электрическом поле напряжённостью Е /2, поэтому на неё действует сила притяжения ко второй пластине f = qE /2. Потенциальная энергия заряда q в этом поле равна работе, которую совершает электрическое поле при сближении пластин конденсатора вплотную:

Подставляя в это равенство значение Ed = U и пользуясь формулой (8.1), получаем, что энергия электрического поля между пластинами конденсатора:

(8.5)

8.8. Энергия произвольного конденсатора

Полученная формула справедлива не только для плоского, но и вообще для любого конденсатора. Действительно, напряжение на конденсаторе данной ёмкости прямо пропорционально его заряду U = q/C. Если заряд изменился на малую величину q , то электрическое поле совершило работу А = U q . Полная работа поля, очевидно, равна площади под графиком:

Ситуация не изменится, если вместо конденсатора использовать уединённый проводник. Его потенциал (относительно бесконечности) равен = q/С , поэтому энергия электрического поля

8.9. Экспериментальное определение энергии, запасённой конденсатором

Энергию конденсатора будем измерять по тепловому действию. В пробирке расположим тонкую металлическую спираль. Пробирку закроем пробкой с капиллярной трубкой, внутри которой находится капля воды. Мы получили газовый термометр – прибор, в котором смещение капли в трубке пропорционально количеству теплоты, выделившемуся в пробирке. К спирали через разрядный промежуток из двух металлических шариков подключим конденсатор, параллельно которому подсоединим электрометр с полым шаром. Для заряда конденсатора будем использовать любой источник электричества и металлический шарик на изолирующей ручке.

Зарядим конденсатор до некоторого напряжения и, сблизив шарики, разрядим его через спираль. При этом капля в трубке переместится на определённое расстояние. Так как разряд происходит быстро, то процесс нагревания воздуха в пробирке можно считать адиабатическим, т.е. происходящим без теплообмена с окружающей средой.

Подождём, пока воздух в пробирке охладится, а капля вернётся в исходное положение. Увеличим напряжение в два, а затем в три раза. После разрядов капля переместится на расстояние, соответственно в четыре и девять раз превышающее первоначальное. Заменим конденсатор на другой, ёмкость которого в два раза больше, и зарядим его до исходного напряжения. Тогда при разряде капля переместится в два раза дальше.

Таким образом, опыт подтверждает справедливость формулы (8.5) W = СU 2 /2, согласно которой энергия, запасённая в конденсаторе, пропорциональна его ёмкости и квадрату напряжения.

8.10. Плотность энергии электрического поля

Выразим энергию электрического поля между обкладками конденсатора такой формулой, чтобы в ней не было величин, характеризующих сам конденсатор, и остались бы только величины, характеризующие поле. Понятно, что этого можно достичь только одним способом: вычислить энергию поля, приходящуюся на единицу объёма. Так как напряжение на конденсаторе U = Ed , а его ёмкость то подстановка этих выражений в формулу (8.5) даёт:

Величина Sd представляет собой объём V электрического поля в конденсаторе. Поэтому плотность энергии электрического поля пропорциональна квадрату его напряжённости.

Исследование 8.1. Измерение ёмкости плоского конденсатора с помощью мультиметра

Информация. В последние годы стали доступны цифровые мультиметры самых различных типов. Эти приборы в принципе позволяют измерять напряжение, силу тока, сопротивление, температуру, ёмкость, индуктивность, определять параметры транзисторов. Перечень измеряемых мультиметром величин определяется типом мультиметра. Нас сейчас интересуют мультиметры, допускающие измерение ёмкости; к ним относятся, например, приборы типов М890G и DТ9208А. Для определённости в дальнейшем мы будем иметь в виду последний прибор.

Проблема. Как экспериментально подтвердить справедливость теоретически полученной формулы для ёмкости конденсатора?

Задание. Разработайте демонстрационный эксперимент, позволяющий на уроке подтвердить справедливость формулы (8.2) для ёмкости плоского конденсатора с воздушным диэлектриком.

Вариант выполнения.

Соберите плоский конденсатор из круглых пластин, входящих в комплект приборов по электростатике, и подключите к нему мультиметр. Линейкой измерьте диаметр пластин и расстояние между ними. По формуле (8.2) вычислите ёмкость конденсатора и сравните получившееся значение с измеренным. В демонстрационном опыте могут получиться, например, следующие результаты: диаметр пластин конденсатора D = 0,23 м, расстояние между пластинами d = 0,01 м, вычисленная по формуле ёмкость: мультиметр показывает такое же значение.

Изменяйте расстояние между пластинами, площадь перекрытия пластин конденсатора и вводите между ними различные диэлектрики. При этом соответствующим образом изменяются измеренные мультиметром значения ёмкости конденсатора. Вместе с учащимися проанализируйте результаты опыта и сделайте вывод относительно справедливости формулы (8.2).

Исследование 8.2. Определение диэлектрической проницаемости методом измерения ёмкости

Задание. Используя цифровой мультиметр, определите диэлектрические проницаемости различных веществ.

Вариант выполнения. Соберите плоский конденсатор с воздушным диэлектриком, измерьте расстояние d между обкладками и ёмкость С 0 конденсатора. Измерьте толщину l плоскопараллельной пластины диэлектрика, аккуратно введите диэлектрик между обкладками и мультиметром измерьте ёмкость С . По формуле вычислите диэлектрическую проницаемость вещества. Подскажите учащимся, как выводится эта формула. Измерьте диэлектрические проницаемости стекла, оргстекла, винипласта, текстолита, полиэтилена и т.д. Сравните получившиеся значения с табличными.

Исследование 8.3. Параллельное и последовательное соединения конденсаторов

Задание. Используя цифровой мультиметр, подтвердите справедливость формул (8.3) и (8.4) для ёмкости параллельно и последовательно соединённых конденсаторов.

Вариант выполнения .

Подберите радиотехнические конденсаторы ёмкостью от десятков пикофарад до десятков нанофарад и с помощью мультиметра определите их ёмкости. Обратите внимание на то, что измеренные значения, как правило, не совпадают с обозначенными на корпусах конденсаторов. Это объясняется тем, что допустимая погрешность ёмкости радиотехнических конденсаторов достигает 20%. Конденсаторы соедините параллельно, измерьте результирующую ёмкость и убедитесь, что она равна сумме ёмкостей каждого из конденсаторов. Затем соедините конденсаторы последовательно и убедитесь, что величина, обратная результирующей ёмкости, равна сумме величин, обратных ёмкостям соединённых конденсаторов.

Учащимся можно предложить количественные задачи по вычислению ёмкости различных батарей конденсаторов с последующей проверкой решения в реальном эксперименте.

Исследование 8.4. Работа электрического поля

Задание . При поднесении заряженного тела к лежащим на поверхности лёгким шарикам они начинают подпрыгивать. Используя это явление, экспериментально покажите, что работа электрического поля по перемещению заряда пропорциональна разности потенциалов, которую прошёл этот заряд: А = qU.

Вариант выполнения .

Возле дна пластиковой бутылки горизонтально закрепите неподвижный плоский электрод, а над ним параллельно – подвижный электрод. К стенке бутылки приклейте шкалу с миллиметровыми делениями. Между электродами поместите пенопластовый шарик, обёрнутый тонкой алюминиевой фольгой. Электроды подключите к высоковольтному источнику. При подаче напряжения на электроды шарик начнёт подпрыгивать. Увеличивая напряжение, добейтесь того, чтобы шарик подпрыгивал на высоту h , равную расстоянию d между электродами. В этом случае работа электрического поля по перемещению заряженного шарика А = qU = mgh . Увеличьте напряжение в два раза и убедитесь, что высота h также возрастёт в два раза. Сделайте вывод из опыта.

Заметьте, что разность потенциалов выражается через напряжённость электрического поля формулой U = Ed . Так как, по условиям опыта, h = d , то на оторвавшийся от нижнего электрода шарик со стороны электрического поля действует постоянная по модулю сила F = Eq = mg .

Исследование 8.5. Электростатический двигатель

Задание. Используйте явление электрического ветра (см. исследование 7.7) для построения действующей модели электростатического двигателя.

Вариант выполнения. Первым изготовил электростатический двигатель один из основоположников учения об электричестве, выдающийся американский учёный Б.Франклин. Так называемое колесо Франклина имеется в любом кабинете физики (фото вверху).

Дома школьники могут изготовить простейшую модель такого двигателя, если на один из электродов пьезоэлектрического источника наденут вырезанную из алюминиевой фольги фигуру в форме сегнерова колеса (фото внизу). Периодически нажимая на рычаг источника, они смогут привести получившееся колесо Франклина в непрерывное вращение.

На фотографии гораздо более мощный электростатический двигатель, который способен вращать даже крыльчатку вентилятора. Прибор собран на пластиковой бутылке.

Исследование 8.6. Энергия заряженного конденсатора

Задание. Учащиеся надолго запомнят свойство конденсатора накапливать электрическую энергию, если прямо на их глазах собрать конденсатор и продемонстрировать его в работе. Предложите простой способ изготовления такого конденсатора, который способен поразить воображение школьников.

Вариант выполнения. Приготовьте две дюралевые пластины размером, например, 15 15 см. Из толстой полиэтиленовой плёнки вырежьте прямоугольник размером примерно 20 20 см и, проложив его между пластинами, соберите конденсатор. Включите высоковольтный источник, установите напряжение 10 кВ и, сблизив электроды источника, покажите проскакивающую между ними искру. Затем от того же источника при том же напряжении зарядите собранный на демонстрационном столе конденсатор. Разрядите конденсатор и покажите, что получается гораздо более мощная искра, чем при разряде между электродами источника. Обратите внимание на необходимость соблюдения правил техники безопасности при работе с конденсаторами.

Исследование 8.7. Батарея гальванических элементов

Проблема. Учащимся хорошо знакомы отдельные элементы и батареи гальванических элементов, которые широко используются в быту. Школьники знают, что эти приборы характеризуются напряжением и способны давать электрический ток. Однако напряжение указанных источников не превышает нескольких вольт, а в электростатике используются напряжения в тысячи и десятки тысяч вольт. Поэтому заряды на электродах гальванических источников практически никак себя не проявляют. Как экспериментально доказать, что на выводах батарей гальванических элементов действительно имеются электрические заряды, физическая природа которых такая же, как тех, которые обнаруживаются в опытах электростатики?

Задание. Поставьте эксперимент, позволяющий обнаружить заряды на выводах батареи гальванических элементов и определить их знак.

Вариант выполнения .

В комплект к электрометрам входит дисковый конденсатор, представляющий собой два металлических диска диаметром 100 мм, рабочие поверхности которых покрыты тонким слоем лака. Один из дисков имеет крепление для насадки на стержень электрометра, второй снабжён изолирующей ручкой.

Используя указанное оборудование и ориентируясь по фотографии, выполните задание.

Исследование 8.8. Оценка энергии заряженного конденсатора

Информация. Выполняя исследование 2.7, вы убедились, что энергию электрического поля можно оценить по вспышке лампы накаливания, происходящей при разряде создающих поле заряженных тел. Действительно, при разряде потенциальная энергия неподвижных зарядов переходит в кинетическую энергию движущихся зарядов, заряды нейтрализуются, и поле исчезает. Движение свободных зарядов по проводнику вызывает его нагревание.

Задание. Приготовьте две батарейки по 4,5 В, два электролитических конденсатора ёмкостью по 1000 мкФ, рассчитанных на рабочее напряжение не ниже 12 В, и четыре лампочки для карманного фонаря на напряжение 1 В. Докажите, что энергия заряженного конденсатора пропорциональна его ёмкости и квадрату напряжения.

Вопросы для самоконтроля

1. Какова методика введения и формирования понятия электрической ёмкости проводника и системы проводников?

2. Как в демонстрационном эксперименте можно обосновать справедливость формулы для ёмкости плоского конденсатора?

3. Насколько целесообразна демонстрация непосредственно на уроке сущности метода определения диэлектрической проницаемости вещества?

4. Предложите методику введения и формирования понятия плотности энергии электрического поля.

5. Разработайте серию исследовательских заданий учащимся по экспериментальному обоснованию построения электростатических двигателей.

6. Перечислите наиболее яркие опыты, демонстрирующие накопление электрической энергии конденсаторами.

7. Как доказать, что используемые в быту батареи гальванических элементов принципиально ничем не отличаются от электростатических источников электричества?

8. Какими экспериментами можно подтвердить, что энергия, запасённая в конденсаторе, пропорциональна его ёмкости и квадрату напряжения?

Литература

Бутиков Е.И. , Кондратьев А.С. Физика: Учеб. пособие: В 3 кн. Кн. 2. Электродинамика. Оптика. – М.: Физматлит, 2004.

Демонстрационный эксперимент по физике в старших классах средней школы. Т. 2. Электричество. Оптика. Физика атома: Под ред. А.А.Покровского. – М.: Просвещение, 1972.

Майер В.В. , Майер Р.В. Электричество. Учебные исследования: Библиотека учителя и школьника. – М.: ФМЛ, 2007.

Шилов В.Ф. О первоочередных мерах по материально-техническому обновлению кабинета физики. – Учебная физика, 2000, № 4.

Рассмотрим процесс зарядки уединенного проводника. Чтобы его заряд достиг величины Q , будем сообщать проводнику заряд порциями dq , перенося их из бесконечно удаленной точки 1 на поверхность проводника в точку 2 (рис. 3.14). Для передачи проводнику новой порции заряда
внешние силы должны совершить работу против сил электрическогополя: . Поскольку проводник уединенный (точка1 бесконечно далека от проводника), то
. Потенциал точки2 равен потенциалу проводника . Поэтому
. Если проводнику передан зарядq , то его потенциал
. Полная работа внешних сил по зарядке проводника до значения зарядаQ будет равна

.

Согласно закону сохранения энергии, работа внешних сил по зарядке проводника увеличивает энергию создаваемого электростатического поля, т.е. проводник запасает определенную энергию:

. (3.13)

Рассмотрим процесс зарядки конденсатора от источника ЭДС. Источник в процессе зарядки переносит заряды с одной пластины на другую, причем сторонние силы источника совершают работу по увеличению энергии конденсатора:

,

где Q – заряд конденсатора после зарядки. Тогда энергия электрического поля, созданного конденсатором, определится как

. (3.14)

Выражение (3.14) позволяет записать величину энергии электростатического поля двумя способами:

и
.

Сопоставление двух соотношений позволяет задать вопрос: что является носителем электрической энергии? Заряды (первая формула) или поле (вторая формула)? Оба записанных равенства прекрасно согласуются с результатами экспериментов, т.е. расчет энергии поля можно одинаково правильно вести по обеим формулам. Однако такое наблюдается только в электростатике, т.е. когда осуществляется расчет энергии поля неподвижных зарядов. При рассмотрении теории электромагнитного поля в дальнейшем (гл. 8) мы увидим, что электрическое поле может создаваться не только неподвижными зарядами. Электростатическое поле – это частный случай электромагнитного поля, существующего в пространстве в виде электромагнитной волны. Его энергия распределена в пространстве с определенной плотностью. Введем понятие объемной плотности энергии поля следующим образом.

Преобразуем последнее равенство (3.14) для случая плоского конденсатора, воспользовавшись связью разности потенциалов и напряженности однородного поля:

где
– объем конденсатора, т.е. объем части пространства, в котором создано электрическое поле.

Объемной плотностью энергии поля называется отношение энергии поля, заключенного в малом объеме пространства к этому объему:

. (3.15)

Следовательно, энергию однородного электрического поля можно рассчитать так:
.

Сделанный вывод можно распространить на случай неоднородного поля таким образом:

, (3.16)

где
– такой элементарный объем пространства, в пределах которого поле можно считать однородным.

Для примера рассчитаем энергию электрического поля, созданного уединенным металлическим шаром радиусом R , заряженным зарядом Q , и находящимся в среде с относительной диэлектрической проницаемостью . Повторив рассуждения примера из п.2.5, получим модуль напряженности поля в виде функции
:

Тогда выражение для объемной плотности энергии поля примет вид:

Поскольку напряженность поля зависит только от радиальной координаты, то она будет практически постоянна в пределах тонкого сферического слоя с внутренним радиусом r и толщиной
(рис. 3.15). Объем этого слоя
. Тогда энергия поля определится так:

Аналогичный результат мы бы получили, если бы вычисляли энергию заряженного шара по формуле (3.13), воспользовавшись (3.6):

.

Однако следует помнить, что такой способ неприменим, если необходимо найти энергию электрического поля, заключенную не во всем объеме поля, а лишь в его части. Также метод расчета по формуле (3.13) нельзя использовать при определении энергии поля системы, для которой неприменимо понятие “емкость”.

Если проводник поместить во внешнее электростатическое поле, то оно будет действовать на его заряды, которые начнут перемещаться. Это процесс протекает очень быстро, после его завершения устанавливается равновесное распределение зарядов, при котором электростатическое поле внутри проводника оказывается равным нулю. С другой стороны, отсутствие поля внутри проводника говорит об одном и том же значении потенциала в любой точке проводника, а также о том, что вектор напряженности поля на внешней поверхности проводника перпендикулярен ей. Если бы это было не так, появилась бы составляющая вектора напряженности, направленная по касательной к поверхности проводника, что вызвало бы перемещение зарядов, и равновесное распределение зарядов нарушилось бы.

Если мы зарядим проводник, находящийся в электростатическом поле, то, заряды у него будут располагаться только на внешней поверхности, так как, в соответствии с теоремой Гаусса, из-за равенства нулю напряженности поля внутри проводника нулю будет равен и интеграл от вектора электрического смещения D по замкнутой поверхности, совпадающей с внешней поверхностью проводника, который, как было установлено ранее, должен быть равен заряду внутри названной поверхности, т. е. нулю. При этом возникает вопрос о том, можем ли мы сообщить такому проводнику любой, сколь угодно большой заряд, Чтобы получить ответ на этот вопрос, найдем связь между поверхностной плотностью заряда и напряженностью внешнего электростатического поля.

Выберем бесконечно малый цилиндр, пересекающий границу «проводник – воздух» так, чтобы его ось была ориентирована вдоль вектора Е . Применим к этому цилиндру теорему Гаусса. Понятно, что поток вектора электрического смещения вдоль боковой поверхности цилиндра будет равна нулю из-за равенства нулю напряженности поля внутри проводника. Поэтому полный поток вектора D через замкнутую поверхность цилиндра будет равен только потоку через его основание. Этот поток, равный произведению D∆S , где ∆S – площадь основания, равен суммарному заряду σ∆S внутри поверхности. Иными словами, D∆S = σ∆S , откуда следует, что

D = σ , (3.1.43)

тогда напряженность электростатического поля у поверхности проводника

E = σ /(ε 0 ε) , (3.1.44)

где ε – диэлектрическая проницаемость среды (воздуха), которая окружает проводник.

Поскольку поле внутри заряженного проводника отсутствует, то создание внутри него полости ничего не изменит, т. е. не повлияет на конфигурацию расположения зарядов на его поверхности. Если теперь проводник с такой полостью заземлить, то потенциал во всех точках полости будет равен нулю. На этом основана электростатическая защита измерительных приборов от влияния внешних электростатических полей.

Теперь рассмотрим проводник, удаленный от других проводников, других зарядов и тел. Как нами было установлено ранее, потенциал проводника пропорционален его заряду. Опытным путем было установлено, что проводники, изготовленные из разных материалов, будучи заряженными до одного и того же заряда, обладают разными потенциалами φ . И наоборот, у проводников из разных материалов, имеющих одинаковый потенциал, различаются заряды. Поэтому мы можем записать, что Q = Cφ, где

C = Q/φ (3.1.45)

называется электроемкостью (или просто емкостью ) уединенного проводника. Единицей измерения электроемкости является фарад (Ф), 1 Ф – емкость такого уединенного проводника, потенциал которого изменяется на 1 В при сообщении ему заряда, равного 1 Кл.

Поскольку, как было установлено ранее, потенциал шара радиуса R в диэлектрической среде с диэлектрической проницаемостью ε

φ =(1/4πε 0)Q/εR , (3.1.46)

то с учетом 3.1.45 для емкости шара получим выражение

C = 4πε 0 εR . (3.1.47)

Из 3.1.47 следует, что емкостью в 1 Ф обладал бы шар в вакууме и имеющий радиус порядка 9*10 9 км, что в 1400 раз превышает радиус Земли. Это говорит о том, что 1 Ф – это очень большая электроемкость. Емкость Земли, например, всего около 0.7 мФ. По этой причине на практике пользуются миллифарадами (мФ), микрофарадами (мкФ), нанофарадами (нФ) и даже пикофарадами (пФ). Далее, поскольку ε – безразмерная величина, то из 3.1.47 получаем, что размерность электрической постоянной ε 0 – Ф/м.

Выражение 3.1.47 говорит о том, что проводник может обладать большой емкостью только при очень больших размерах. В практической же деятельности требуются устройства, которые при небольших размерах были бы способны накапливать большие заряды при сравнительно небольших потенциалах, т. е. имели бы большие емкости. Такие устройства называются конденсаторами .

Мы уже говорили о том, что, если к заряженному проводнику приближать проводник или диэлектрик, на них будут наводиться заряды так, что на ближайшей к заряженному проводнику стороне привносимого тела возникнут заряды противоположного знака. Такие заряды будут ослаблять то поле, которое создается заряженным проводником, и это будет понижать его потенциал. Тогда, в соответствии с 3.1.45, мы можем говорить об увеличении емкости заряженного проводника. На такой основе как раз и создают конденсаторы.

Обычно конденсатор состоит из двух металлических обкладок , разделенных диэлектриком . Его конструкция должна быть такой, чтобы поле было сосредоточено только между обкладками. Этому требованию удовлетворяют две плоские пластины , два коаксиальных (имеющих одну и ту же ось) цилиндра разного диаметра и две концентрические сферы . Поэтому конденсаторы, построенные на таких обкладках, называются плоскими , цилиндрическими и сферическими . В повседневной практике чаще используют два первых типа конденсаторов.

Под емкостью конденсатора понимают физическую величину С , которая равна отношению заряда Q , накопленного в конденсаторе, к разности потенциалов (φ 1 – φ 2 ), т. е.

C = Q /(φ 1 – φ 2) . (3.1.48)

Найдем емкость плоского конденсатора, который состоит из двух пластин площадью S , отстоящих друг от друга на расстояние d и имеющих заряды +Q и –Q . Если d мало по сравнению с линейными размерами пластин, то краевыми эффектами можно пренебречь и считать поле между обкладками однородным. Поскольку Q = σS , а, как было показано ранее, разность потенциалов между двумя разноименно заряженными пластинами с диэлектриком между ними φ 1 – φ 2 = (σ /ε 0 ε)d, то после подстановки этого выражения в 3.1.48 получаем

C = ε 0 εS/d . (3.1.49)

Для цилиндрического конденсатора длиной l и радиусами цилиндров r 1 и r 2

C = 2πε 0 εl/ln(r 2 /r 1) . (3.1.50)

Из выражений 3.1.49 и 3.1.50 хорошо видно, как можно увеличить емкость конденсатора. Прежде всего, для заполнения пространства между обкладками следует использовать материалы с максимально большой диэлектрической проницаемостью. Другим очевидным способом повышения емкости конденсатора является уменьшение расстояния между обкладками, однако у этого способа имеется важный ограничитель – пробой диэлектрика , т. е. электрический разряд через слой диэлектрика. Разность потенциалов, при которой наблюдается электрический пробой конденсатора, называется пробивным напряжением . Для каждого типа диэлектрика эта величина своя. Что же касается увеличения площади пластин плоского и длины цилиндрического конденсаторов для увеличения их емкости, то всегда существуют чисто практические ограничения размеров конденсаторов, чаще всего это размеры всего прибора, в состав которого входит конденсатор или конденсаторы.

Для того чтобы была возможность увеличивать или уменьшать емкость, на практике широко используется параллельное или последовательное соединение конденсаторов. При параллельном соединении конденсаторов разность потенциалов на обкладках конденсаторов одна и та же и равна φ 1 – φ 2 , а заряды на них будут равны Q 1 = C 1 (φ 1 – φ 2) , Q 2 = C 2 (φ 1 – φ 2) , … Q n = C n (φ 1 – φ 2) , поэтому полный заряд батареи из конденсаторов Q будет равен сумме перечисленных зарядов ∑Q i , которая в свою очередь равна произведению разности потенциалов (φ 1 – φ 2) на полную емкость С = ∑C i . Тогда для полной емкости конденсаторной батареи мы получаем

C = Q/(φ 1 – φ 2) . (3.1.51)

Иными словами, при параллельном соединении конденсаторов полная емкость конденсаторной батареи равна сумме емкостей отдельных конденсаторов.

При последовательном соединении конденсаторов заряды на обкладках равны по модулю, а полная разность потенциалов ∆φ батареи равна сумме разностей потенциалов ∆φ 1 на зажимах отдельных конденсаторов. Поскольку для каждого конденсатора ∆φ 1 = Q/C i , то ∆φ = Q/C =Q ∑(1/C i) , откуда получаем

1/C = ∑(1/C i) . (3.1.52)

Выражение 3.1.52 означает, что при последовательном соединении конденсаторов в батарею суммируются величины, обратные емкостям отдельных конденсаторов, при этом суммарная емкость оказывается меньше самой маленькой емкости.

Мы уже говорили о том, что электростатическое поле потенциально. Это значит, что любой заряд в таком поле обладает потенциальной энергией. Пусть имеется проводник в поле, для которого известны заряд Q , емкость C и потенциал φ , и пусть нам необходимо увеличить его заряд на dQ . Для этого надо совершить работу dA = φdQ = Сφdφ по перенесению этого заряда из бесконечности на проводник. Если же нам надо зарядить тело от нулевого потенциала до φ , то придется совершить работу, которая равна интегралу от Сφdφ в указанных пределах. Понятно, что интегрирование даст следующее уравнение

А = Сφ 2 /2 . (3.1.53)

Эта работа идет на повышение энергии проводника. Поэтому для энергии проводника в электростатическом поле можно записать

W = Сφ 2 /2 = Q φ/2 = Q 2 /(2C) . (3.1.54)

Конденсатор, как и проводник, тоже обладает энергией, которая может быть вычислена по формуле, подобной 3.1.55

W = С(∆φ) 2 /2 = Q∆φ/2 = Q 2 /(2C) , (3.1.55)

где ∆φ – разность потенциалов между обкладками конденсатора, Q – его заряд, а С – емкость.

Подставим в 3.1.55 выражение для емкости 3.1.49 (C = ε 0 εS/d ) и учтем, что разность потенциалов ∆φ = Ed , получим

W = (ε 0 εS/d)(Ed 2)/2 = ε 0 εE 2 V/2 , (3.1.56)

где V = Sd . Уравнение 3.1.56 показывает, что энергия конденсатора определяется напряженностью электростатического поля. Из уравнения 3.1.56 можно получить выражение для объемной плотности электростатического поля

w = W/V = ε 0 εE 2 /2 . (3.1.57)

Контрольные вопросы

1. Где располагаются электрические заряды у заряженного проводника?

2. Чему равна напряженность электростатического поля внутри заряженного проводника?

3. От чего зависит напряженность электростатического поля у поверхности заряженного проводника?

4. Как обеспечивается защита приборов от внешних электростатических помех?

5. Что такое электроемкость проводника и какова единица ее измерения?

6. Какие устройства называются конденсаторами? Какие типы конденсаторов существуют?

7. Что понимают под емкостью конденсатора?

8. Каковы способы увеличения емкости конденсатора?

9. Что такое пробой конденсатора и пробивное напряжение?

10. Как вычисляется емкость конденсаторной батареи при параллельном соединении конденсаторов?

11. Чему равна емкость конденсаторной батареи при последовательном соединении конденсаторов?

12. Как вычисляется энергия конденсатора?